...△ABC,⊙O1是它的外接圆,与⊙O1内切于A点的⊙O2交AB于F,交AC于G...

发布网友发布时间：2024-10-24 13:34

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（1）证明：过P作两圆的公切线PQ，如图所示，
∴∠PAB=∠AGF，∠PAB=∠C，
∴∠AGF=∠C，
∴FG∥BC，
∵FE⊥BC，GH⊥BC，
∴FE∥GH，
∴四边形FEHG为平行四边形，
∵∠FEC=90°，
则四边形FEHG为矩形；
（2）解：∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴∠AMG=∠ADC=90°，
∵EF=MD，
∴AM=AD-MD=AD-EF，
∴FGBC=AMAD，
∵EF=x，矩形FEHG面积为y，AD=6，BC=8，
∴FG8=6-x6，即FG=43（6-x），
则y=43x（6-x）=-43x2+8x（0＜x＜6）；
（3）解：∵S△ABC=12AD?BC=24，矩形FEHG的面积是△ABC面积的一半，
∴-43x2+8x=12×24，即（x-3）2=0，
解得：x1=x2=3，
即当矩形FEHG的面积是△ABC面积的一半时，FE=MD=3，则AM=12AD，
证明：连接O2F，O1B，O1A，则O2必然在O1A上，
∵AO1=BO1，∴∠O1AB=∠O1BA，
∵AO2=FO2，∴∠O2AB=∠O2FA，
∴∠O2FA=∠O2BA，
∴FO2∥BO1，
∴O2FO1B=AFAB=AMAD=12，
则AM=12AD．

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