...设函数(fx)=x-(a/2)lnx,其中a∈R (1)函数f(x)的图像是否经过一个定...

发布网友 发布时间：2024-10-24 13:25

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热心网友 时间：2024-11-02 11:57

要让函数经过一个定点，就是看有没有可能取出一对(x, y)，使得a被消去了。可以看到，要使得a被消去，只能让lnx = 0。此时，x = 1, y = 1。即f一定过(1, 1)这个点。

再看切线方程。先求个导：

f'(x) = 1 - a/(2x)，

则f'(1) = 1 - a/2

所以切线方程是y - 1 = f'(1) (x - 1)，你自己整理吧。

首先，f定义域在正数范围内。

那么，如果a ≤ 0，f'恒正，f单调增。

如果a > 0，可以看到f'有一个零点，在x = a/2处。所以f在(0, a/2)单调减，在后边单调增

我们肯定要充分利用这一题的函数结论。给要证的东西取个对数，相当于要证

2(√π - √e) > √e(lnπ - lne)

移项整理，有

√π - (1/2)√elnπ > √e - (1/2)√elne

√π - (2/2)√eln√π > √e - (2/2)√eln√e

就是要证明上式正确

现在是不是很像原函数啦？

令原函数a = 2√e，即f(x) = x - √elnx，那么现在就变成要证明f(√π) > f(√e)

看上一问证出的单调性，此时最小值点在x = a/2 = √e处，也就是f(√e)是整个函数最小值点，那么显然有f(√π) > f(√e)

证毕

其实这题给出了一种不等式证明思路。要是发现要证的不等式长得很像，可以先移项什么的化简成比较简单的形式（慎重进行乘除、平方操作，防止出现不合理结果以及不等号变号）。如果还证不出，可以改成函数进行分析，从单调性来证不等式。

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