...求以PA,PB,PC为直径的三个圆的面积之和的最小

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热心网友 时间：22小时前

AB=√(8²+6²)=10,设内切圆M的半径为r,

则：r=2S△ABC/△ABC周长=6×8/(10+8+6=24)=2 。 

如图，圆M的方程为(x-2)²+(y-2)²=4,得y²-4y=-x²+4x-4。

点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(0,6),设点P的坐标为(x,y)。

则PA²+PB²+PC²=[(x-8)²+y²]+[x²+(y-6)²]+(x²+y²)

              =3x²-16x+3y²-12y+100

              =3x²-16x+3（y²-4y)+100

              =3x²-16x+3(-x²+4x-4)+100

              =88-4x。

因0≤x≤4,故72≤PA²+PB²+PC²≤88 。

以PA,PB,PC为直径的三个圆的面积之和S=(PA²+PB²+PC²)π/4；

则知18π≤S≤22π 。

结论：三个圆的面积之和的最小值为18π 。

热心网友 时间：22小时前

用解析的办法求解
设C(-2,-2),B(4,-2),A(-2,6)
AC⊥BC 角C为直角
AC=8 BC=6 符合题意
所以M的圆心在原点O上，P的方程为 X^2+Y^2=4
求以PA,PB,PC为直径的三个圆的面积之和的最小,
就是求s=π/4*PA^2+π/4*PB^2+π/4*PC^2最小
即求 s=π/4*[(x+2)^2+(y-6)^2+(x-4)^2+(y+2)^2+(x+2)^2+(y+2)^2]
=π/4*(3x^2+3y^2-4y+68)
=π*(20-y)
所以当Y=2时 s=18π

热心网友 时间：22小时前

AB=√(8²+6²)=10,设内切圆M的半径为r,

则：r=2S△ABC/△ABC周长=6×8/(10+8+6=24)=2 。 

如图，圆M的方程为(x-2)²+(y-2)²=4,得y²-4y=-x²+4x-4。

点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(0,6),设点P的坐标为(x,y)。

则PA²+PB²+PC²=[(x-8)²+y²]+[x²+(y-6)²]+(x²+y²)

              =3x²-16x+3y²-12y+100

              =3x²-16x+3（y²-4y)+100

              =3x²-16x+3(-x²+4x-4)+100

              =88-4x。

因0≤x≤4,故72≤PA²+PB²+PC²≤88 。

以PA,PB,PC为直径的三个圆的面积之和S=(PA²+PB²+PC²)π/4；

则知18π≤S≤22π 。

结论：三个圆的面积之和的最小值为18π 。

热心网友 时间：22小时前

用解析的办法求解
设C(-2,-2),B(4,-2),A(-2,6)
AC⊥BC 角C为直角
AC=8 BC=6 符合题意
所以M的圆心在原点O上，P的方程为 X^2+Y^2=4
求以PA,PB,PC为直径的三个圆的面积之和的最小,
就是求s=π/4*PA^2+π/4*PB^2+π/4*PC^2最小
即求 s=π/4*[(x+2)^2+(y-6)^2+(x-4)^2+(y+2)^2+(x+2)^2+(y+2)^2]
=π/4*(3x^2+3y^2-4y+68)
=π*(20-y)
所以当Y=2时 s=18π