...a2…am(3≦m≦n)线性无关的充要条件是a1,a2…am中任何一个向量都不...

发布网友发布时间：2024-10-23 22:52

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热心网友时间：2024-11-01 03:51

解：假设a1，a2，.....am中ak可以用其余向量来表示。k为任意大于等于3小于m的自然数
ak=k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am
且k1到km不全为零否则 ak为零向量，那么
k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am+k(k)*ak=0时有非零解，则
a1，a2，。。。am线性相关。
∴ak=k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am
设l1*a1+l2*a2+……+lk*ak+……lm*am=0
l1*a1+l2*a2+……+l1*(k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am)+……lm*am=0
当k1，k2，……km全为-1时上式成立即l1，l2，……lm可以与为0
与a1，a2，……am线性无关矛盾。
假设线性相关那么k1*a1+k2*a2+……k(k-1)*a（k-1）+k(k+1)*a（k+1）+……+km*am+k(k)*ak=0
有非零解假设k（k）不为0
那么ak=-a1/k(k)+……+-am/k(k) 与条件矛盾。

所以为充要条件。

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