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三角形
1 如图 △1，在等边 ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点 P 是线段 DC 上的动点(点 P 与点 C 不重合)，连结 BP，得到 A△，将 ABP 绕点 P 按顺时针方向旋转 α 角（0°＜α＜180°）△1B1P，
连结 AA1，射线 AA1 分别交射线 PB、射线 B1B 于点 E、F．
（1）如图 1，当 0°＜α＜60°时，在 α 角变化过程中，△BEF 与△AEP 始终存在相似关系， 请说明理由；
（2）如图 2，设∠ABP＝β，当 60°＜α＜180°时，在 α 角变化过程中，是否存在△BEF 与△ AEP 全等？若存在，求出 α 与 β 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （3）如图 3，当 α＝60°时，点 E、F 与点 B 重合．已知 AB＝4，设 DP＝△x， A1BB1 的面积 为 S，求 S 关于 x 的函数关系式． E
F A1
B B B B1
F
E
C
C
B1
C
A1A
1
B1
A
D
图 1
P A D P
图 2
A D
图 3
P
1
2．在△ABC 中，∠A＝90°，点 D 在线段 BC 上，∠EDB＝ ∠C，BE⊥DE，垂足为 E，DE
2
与 AB 相交于点 F． （1）当 AB＝AC 时，（如图 1） ①∠EBF＝_________°；
②探究线段 BE 与 FD 的数量关系，并加以证明；
BE
（2）当 AB＝kAC 时（如图 2），求 的值（用含 k 的式子表示）．
FD
A
E
E
F
F
D
图 1
A
B
C B
图 2
D C
3．如图 △1，在 ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD 为斜边 AC 上的中线，将△ABD 绕点
，得到△D 顺时针旋转 α（0°＜α＜180°）EFD，点 A 的对应点为点 E，点 B 的对应点为点 F，
连接 BE、CF．
（1）判断 BE 与 CF 的位置、数量关系，并说明理由；
（2）若连接 BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形 BFEC 能形成哪些特殊四边形； （3）如图 △2，将 ABC 中 AB＝BC 改成 AB≠BC 时，其他条件不变，直接写出 α 为多少度 时（1）中的两个结论同时成立．
A
E
A A
F
D
D
D
B
C
B
C
B
C
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24△．如图，在 ABC 中，∠ABC＝∠BAC＝72°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 α 度（36°＜α ＜180°）得到△ADE，连接 CE，线段 BD（或其延长线）分别交 AC、CE 于点 G、F． （△1）求证： ABG∽△FCG； （△2）在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使得 ABG 与△FCG 全等？若存在，求出此时 旋转角 α 的大小；若不存在，说明理由．
C
D G
F
E
A
B
5．已知 Rt△
3
ABC 中，∠ACB＝90º，BC＝5，tan∠A＝ ．将△ ABC 绕点 C 逆时针旋转 α（45°
4
＜α＜135°）得到△DCE，设直线 DE 与直线 AB 相交于点 P，连接 CP． （1）如图 1，当 CD⊥AB 时，求证：PC 平分∠EPA；
（2）如图 2，当点 P 在边 AB 上时，求证：PE＋PB＝6；
（ ）在△3 ABC 旋转过程中，连接 ∠BPE 的度数及 PB 的长．
，当BE△
25
BCE 的面积为 3时，求4
B
E
P
D F
E
B
P
D
F
B
C
A
图 1
C
图 2
A C
备用图
A
6 已知△ABC 中，点 D 在 AC 上，点 E 在 BC 上，且 DE∥AB△．将 CDE 绕点 C 按顺时针方 向旋转得到 CD△′E′（∠BCE′＜180°），连接 AD′、BE′，设直线 BE′与 AC、AD′分别交于点 O、F．
AD′
（1）如图 △1，若 ABC 为等边三角形，则 的值为________，∠AFB 的度数为________；
BE′ （2）如图 △2，若 ABC 满足∠ACB＝60°，AC＝ 3，BC＝ 2．
AD′
①求 的值和∠AFB 的度数；
BE′
②若 E 是 BC 的中点，求△OBC 面积的最大值．
A
D E′
F
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A
D O
E′ F
D′
C
B E
图 1
7．如图 △1， ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE 重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC ＝∠DEF＝90º．固定△ABC，将△DEF 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转 中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE，DF（或它们的延长线）分别交 BC （或它的延长线）于 G，H 点，如图 2． （△1）始终与 AGC 相似的三角形有___________和___________； （2）在图 2 中，设 CG＝x，BH＝y，求 y 关于 x 的函数关系式； （3）当 x 为何值时，△AGH 是等腰三角形？
A(D)
F
A(D)
B
图 1
C(E) B G E 图 2
C
F
H
8 如图 1，已知线段 AB 的长为 2a，点 P 是 AB 上的动点（P 不与 A、B 重合），分别以 AP、 PB 为边向线段 AB 的同一侧作正△APC 和正△PBD． （△1）当 APC 与△PBD 的面积之和取最小值时，AP＝_________；（直接写出结果）
（2）连结 AD、BC 相交于点 Q，设∠AQC＝α，那么 α 的大小是否随点 P 的移动而变化？ 请说明理由；
（3）如图 2，若点 P 固定，将△PBD 绕点 P 按顺时针方向旋转（旋转角小于 180°），此时 α 的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
C
C
Q
D
Q
D
A
P B A P
B
图 1 图 2 9．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A＝90°，D 是腰 AC 上的一个动点，过 C 作 CE 垂直 于 BD 或 BD 的延长线，垂足为 E，如图 1．
BD
（1）若 BD 是 AC 的中线，如图 2，求 的值；
CE
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BD
（2）若 BD 是∠ABC 的角平分线，如图 3，求 的值；
CE （3）结合（1）、（2），请你推断
BD BD
的值的取值范围（直接写出结论，不必证明） 并探究 CE CE
4
的值能小于 吗？若能，求出满足条件的 D 点的位置；若不能，请说明理由．
3
A D
E A A
E D
D
C
B
C E
B
（图 1）
C B
（图 2） （图 3）
10．Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，M 为 AB 中点，将线段 BM 绕点 B 顺时针旋转 90°，得到线 段 BP，连接 AP、CP，CP 交 AB 于点 N（如图 1）． （1）若 AC＝BC△，求证： NPB∽△PAB；
（2）若 BC＝2，当 AC 的长为多少时，△ACB∽△ABP？
（3）图 1 中，当点 A 沿直线 AC 向下运动（其余条件不变）时，Rt△ ABC、△PAB、△PBC 都会变化（如图 2），若点 A 一直运动到 BC 下方，请在图 3 中画出相应的图形．若 BC＝2， 设 AC＝△x， BCP 的面积为 S1，△PAB 的面积为 S2，试问 S1、S2 是否都为定值？若是，求 出这个定值；若不是，求出其关于 x 的函数关系式．
A
M
P
C
B
N
C
图 1
A
M
B
图 2
P
M
A
B C
图 3
11．如图（1），在 Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，点 E 在 AC 上，BE 交 CD 于点 G，EF⊥BE 交 AB 于点 F．若 AC＝mBC，CE＝nEA（m，n 为实数）． 试探究线段 EF 与 EG 的数量关系． （1）如图（2），当 m＝1，n＝1 时，EF 与 EG 的数量关系是____________；
证明： （2）如图（3），当 m＝1，n 为任意实数时，EF 与 EG 的数量关系是____________；
证明：
（3）如图（1），当 m，n 为任意实数时，EF 与 EG 的数量关系是____________．（写出关系
式，不必证明）
C E
G
C C
E
E
G
G
A F D
图（1）
B A F D
图（2）
B A F D
图（3）
B
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12．Rt△ ABC 的直角顶点 B 在 Rt△ DEF 的斜边 DF 上，已知 AB＝DF，DE＝EF，∠A＝30°．固 定△DEF 不动，将△ABC 绕点 B 旋转，并使边 AB 与边 DE 交于点 P，边 BC 与边 EF 于点 Q．
FB BP
（1）如图 1，若 ＝m，求 的值，并确定 m 的取值范围；
BD BQ FB
（2）若 DF＝30， ＝2，连接 ，设PQ△ BPQ 的面积为 S，在旋转过程中：
BD
①如图 2，当点 E 恰好落在边 AC 上时，求 AE 的长；
②S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由； ③随着 S 取不同的值，对应△BPQ 的个数有哪些变化？求相应 S 值的取值范围．
D
D
B
A
Q
F
B
P
P
A
E
图 1
Q
H
图 2
C
E
C
F
，将线段 13△．在 ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α，点 D 是 BC 上一动点（不与 B、C 重合）
AD 绕点 A 逆时针旋转 α 后到达 AE 位置，连接 DE、CE，设∠BCE＝β．
（1）如图 1，若 α＝90°，求 β 的大小；
（2）如图 2，当点 D 在线段 BC 上运动时，试探究 α 与 β 之间的数量关系，并证明你的结 论；
（3）当点 D 在线段 BC 的反向延长线上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请 证明，若不成立，请写出 α 与 β 之间的数量关系，并说明理由．
E
A
A
E
C D 0，4）14．如图，在平面直角坐标系中，已知 AOB 为等边三角形，点 A 的坐标为（，点 B
图1 图 2 在第一象限，点 P 是 x 轴上的一个动点，将△ AOP 绕点 A 按逆时针方向旋转，使边 AO 与 AB 重合，得到△ABC．
（1）求直线 AB 的解析式；
（2）当点 P 运动到点（ 3，0）时，求此时 CP 的长及点 C 的坐标；
3
（3）是否存在点 P，使△COP 的面积等于 4 ？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由．
y
y
A
B
C
A
B
O P x O
备用图
x
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15．在□ ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F． （1）在图 1 中证明 CE＝CF；
（2）若∠ABC＝90°，G 是 EF 的中点（如图 2），直接写出∠BDG 的度数 （3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结 DB、DG（如图 3），求∠BDG 的度 数．
A
A
D
B
E
C
F
E G
D
A D
E
C
F
C
BB
G F
16．在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，作 EF⊥AB 交 BD 于点 F，如图 1．
图 1 图 2 图 3
（1）将图 1 中的△BEF 绕点 B 逆时针旋转 90°，取 DF 的中点 G，连接 EG，CG，如图 2， 则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；
（2）将图 1 中的△BEF 绕点 B 逆时针旋转 180°，取 DF 的中点 G，连接 EG，CG，如图 3， 则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；
（3）将图 1 中的△BEF 绕点 B 逆时针旋转任意角度，取 DF 的中点 G，连接 EG，CG，如 图 3，则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
A D A
G
D A D A
G
D
E
F
F
B
C
图 2 F
G
C
F
E
E
图 3
B
图 4
C
B
C
E B
图 1
17．在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，设锐角∠DOC＝△α，将 DOC 绕点 O
按逆时针方向旋转得到 D△′OC′（，连接 AC′、BD′，AC′与 BD′相交于点 M． 0°＜旋转角＜90°）（1）当四边形 ABCD 是矩形时，如图 1，请猜想 AC′与 BD′的数量关系以及∠AMB 与 α 的 大小关系，并证明你的猜想；
（2）当四边形 ABCD 是平行四边形时，如图 2，已知 AC＝kBD，请猜想此时 AC′与 BD′的 数量关系以及∠AMB 与 α 的大小关系，并证明你的猜想；
（3）当四边形 ABCD 是等腰梯形时，如图 3，AD∥BC，此时（1）AC′与 BD′的数量关系是 否成立？∠AMB 与 α 的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．
D′
A
M
D
O
B
图 1
C B
图 2
C′
A
D′
D
C′
C B
A
M
D′
D
O
C
图 3
M O
C′
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18．如图 l，己知正方形 ABCD，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，且 AE＝AF． （1）如图 △2，将 AEF 绕点 A 顺时针旋转∠α，当 0°＜α＜90°时，连接 BE、DF，判断线段 BE、DF 的数量关系和位置关系，并加以证明； （2）如图 △3，将 AEF 绕点 A 顺时针旋转∠α，当 α＝90°时，连接 BE、DF，当 AE 与 AD 满足什么数量关系时，直线 DF 垂直平分 BE？请说明理由； （3）如图 △4，将 AEF 绕点 A 顺时针旋转∠α，当 90°＜α＜180°时，连接 BD、DE、EF、 FB 得到四边形 BDEF，则顺次连接四边形 BDEF 各边中点所组成的四边形是什么特殊四边 形？请说明理由．
D
C D C D C D C
F
F
E
B
A
E
B
A E
A
F
B
A
E
F
B
图 2 图 3 图 1
19 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90º，BC＝2，D 是线段 BC 上一点，以 AD 为 边，在 AD 的右侧作正方形 ADEF．直线 AE 与直线 BC 交于点 G，连接 CF． （1）猜想线段 CF 与线段 BD 的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）连接 FG△，当 CFG 是等腰三角形时，求 BD 的长．
图 4
A
A
F
B
D G
E
C B
备用图
C
20．在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接 BD．动点 M 从 点 E 出发沿射线 ED 运动，过点 M 作 MN∥BD 交直线 BE 于点 N． 3
（1）如图 1，当点 M 在线段 ED 上时，求证：BE＝PD＋ MN；
3
（2）若 BC＝6，设 MN 长为 x，以 M、N、D 为顶点的三角形面积为 y，求 y 关于 x 的函数 关系式；
（3）在（2）的条件下，当点 M 运动到线段 ED 的中点时，连接 NC，过点 M 作 MF⊥NC 于 F，MF 交对角线 BD 于点 G（如图 2），求线段 MG 的长．
A E
M
D
A E
D A
E M
D
N
N G
F
C
图 2
B
图 1
C B
备用图
C B
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21．已知菱形 ABCD 的边长为 1，∠ADC＝60°，等边△AEF 两边分别交边 DC、CB 于点 E、 F．
（1）特殊发现：如图 1，若点 E、F 分别是边 DC、CB 的中点，求证：菱形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点 O 即为等边△AEF 的外心；
（2）若点 E、F 始终分别在边 DC、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为点 P． ①猜想验证：如图 △2，猜想 AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明； ②拓展运用：如图 △3，当 AEF 面积最小时，过点 P 任作一直线分别交边 DA 于点 M，交 1 1 边DC的延长线于点N，试判断 ＋是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说 DMDN
明理由．
N
C
B
C F
B
E D
C
F
B
E D
O
E
P
P M A
图 3
D A A
图 1
图 2
22．如图 1，边长为 2 的正方形 ABCD 中，E 是 BA 延长线上一点，且 AE＝AB，点 P 从点
D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 D→C→B 向终点 B 运动，直线 EP 交 AD 于 F，过点 F 作直线 FG⊥DE 于 G，交 AB 于 Q．设点 P 运动时间为 t（秒）． （1）求证：AF＝AQ；
（2）当 t 为何值时，四边形 PQBC 是矩形？
（3）如图 2，连接 PB，当 t 为何值时，△PQB 是等腰三角形？
G
D P C
G
D P C
F A 图 1
F
Q
B
E
A 图 2
Q
B
E
23．已知矩形 ABCD 中，AB＝7，AD＝6，菱形 EFGH 的三个顶点 E、G、H 分别在矩形 ABCD
的边 AB、CD、DA 上，且 AH＝2，连接 CF．
G C D （1）当四边形 EFGH 为正方形时，求 DG 的长； （△2）当 FCG 的面积为 1 时，求 DG 的长；
（△3）当 FCG 的面积最小时，求 DG 的长．
H
F
A E B
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24．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 12，对角线 AC、BD 相交于点 O，正方形 A1B1C1D1
的顶点 A1 与点 O 重合，A1B1 交 BC 于点 E，A1D1 交 CD 于点 F，A
）求证： 交 BC 于点 G，连接 EF、GF．A 1C1
（△1 A1EG△≌ A1FG；
（2）①若 FG＝5，求 FC 的长； ②若 A1E＝2 10，求 FC 的长； （3）设 FC＝△x， A1EF 的面积为 S，求 S 关于 x 的值，若不存在， x 的函数关系式；
S 是否存在最小值，若存在，求出此时
B
请说明理由．
D
OA 1
F
D1
E
G C
B
1
C1
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