一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知为等比数列,是它的前项和。若, 且与2的等差中项为,则=
( )
A.35 B.33 C.31 D.29
参考答案:
C 略
2. 已知数列{an},如果.....是首项为1,公比为2的等比数
列,那么an=( )
A.2n+1
-1 B.2n-1 C.2n-1
D.2n +1
参考答案:
B
略
3. 已知
是等比数列的前三项,则该数列第四项的值是( )
A.-27 B.12 C. D.
参考答案:
D
成等比数列,
,
或
,又
时,
,故舍去,
该数列第四项为,故选D.
4. 过点且平行于直线的直线方程为( )
A. B. C. D.
参考答案: A
5. 点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离.已知点A(1,0),圆C:x2+2x+y2=0,那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是( )
A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线 D.射线
参考答案:
D
圆的标准方程为
,
如图所示,设圆心坐标为,满足题意的点为点,由题意有:
,则
,
设
,结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线
.
本题选择D选项.
6. 在三棱锥S-ABC中,
,侧面SBC与底面ABC垂直,则三棱锥S-ABC
外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B 【分析】
设球心为
,
和
中心分别为
、
,得
平面
,
平面
,
根据球的截面的性质,求得球的半径,再利用球的表面积公式,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,取的中点为,由
和都是正三角形,得
,
由侧面与底面垂直,得
, 设球心为
,
和
中心分别为
、
,则
平面
,
平面
,又由
,
,所以
,
所以外接球的表面积为
,故选B.
【点睛】本题主要考查了球与棱锥的组合体的性质,以及球的表面积的计算,其中解答中熟练应用球的组合体的性质,求得球的半径是解答本题的关键,着重考查了空想想象能力,以及推理与运算能力,属于中档试题.
7. 设为等差数列,,公差,则使前项和取得最大值时正整数
= ( )
(A)4或5 (B)5或6 (C)6或7 (D)8或9
参考答案:
B
8. 在同一坐标系中,方程
的曲线大致是 ( )
参考答案:
A
9. 抛物线
的准线方程是( ).
A.
B.
C.
D.
参考答案:
B 略
10. 如图,AB是平面a的斜线段,A为斜足,若点P在平面a内运动,使得△ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.一条直线 D.两条平行直线
参考答案:
B
【考点】椭圆的定义;平面与圆柱面的截线.
【分析】根据题意,因为三角形面积为定值,从而可得P到直线AB的距离为定值,分析可得,点P的轨迹为一以AB为轴线的圆柱面,与平面α的交线,分析轴线与平面的性质,可得答案. 【解答】解:本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题,
因为三角形面积为定值,以AB为底,则底边长一定,从而可得P到直线AB的距离为定值, 分析可得,点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上,且α与圆柱的轴线斜交, 由平面与圆柱面的截面的性质判断,可得P的轨迹为椭圆; 故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在的展开式中x5的系数是______________.
参考答案: -77 略
12. 已知椭圆,,圆与椭圆恰有两个公共点,则
椭圆的离心率的取值范围是_____________ .
参考答案:
略
13. 在△ABC中,若sinA:sinB:sinC=1:
:3,则∠B的大小为 .
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】sinA:sinB:sinC=1::3,由正弦定理可得:a:b:c=1:
:3,不妨取a=1,
b=
,c=3.再利用余弦定理即可得出.
【解答】解:∵sinA:sinB:sinC=1::3,
由正弦定理可得:a:b:c=1::3,
不妨取a=1,b=
,c=3.
∴cosB=
=,
∵B∈(0,π), ∴B=
.
故答案为:
.
14. 已知数列{an}满足
等于 。
参考答案:
16或-8 15. 函数
是R上的奇函数,满足
,当
时,
,则
= ▲ .
参考答案:
-2;
16. 已知定义在上的奇函数满足
,且时,
,有下列四个结论:①
;
②函数
在
上是增函数;③函数
关于直线
对称;
④若,则关于的方程 在
上所有根之和为-8,
其中正确的是________(写出所有正确命题的序号)
参考答案:
①④ 【答案】
略
17. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s= .
参考答案:
9
【考点】循环结构. 【专题】算法和程序框图.
【分析】用列举法,通过循环过程直接得出S与n的值,得到n=3时退出循环,即可. 【解答】解:循环前,S=1,a=3,第1次判断后循环,n=2,s=4,a=5, 第2次判断并循环n=3,s=9,a=7,第3次判断退出循环, 输出S=9. 故答案为:9.
【点评】本题考查循环结构,判断框中n=3退出循环是解题的关键,考查计算能力.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. (本题满分12分)
某种汽车购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元,汽车的维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,……,依等差数列逐年递增.
(1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n),试写出f(n)的表达式;
(2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).
参考答案:
解:(1)依题意f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n ……………………4分
……………………6分
(2)设该车的年平均费用为S万元,则有
……………………8分
仅当,即n=12时,等号成立. ………………………………11分
答:汽车使用12年报废为宜. ………………………………12分 略
19. 复数z=(3m﹣2)+(m﹣8)i,m∈R, (1)m为何值时,z是纯虚数?
(2)若C=15(m∈N*),求m的值,并指出此时复数z在复平面上对应的点位于第几象限.参考答案:
考点:复数的代数表示法及其几何意义;复数的基本概念.
专题:数系的扩充和复数.
分析:(1)利用复数是纯虚数得到实部为0,并且虚部不为0,求出m;
(2)利用等式C
=15(m∈N*),求出m,得到复数,根据实部、虚部的符号判断位置.
解答: 解:(1)3m﹣2=0且m﹣8≠0时,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
即m=,z是纯虚数.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)由C
=15(m∈N*),得
=15,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解得m=6或m=﹣5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
因为m∈N*,故m=﹣5舍去,即m=6,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
此时复数z=16﹣2i在复平面上对应的点位于第四象限﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
点评:本题考查了复数的基本概念以及复数的几何意义;熟练掌握复数的有关概念是解答的根本. 20. (本题满分12分)
函数
(Ⅰ)判断并证明函数的奇偶性; (Ⅱ)若
,证明函数
在
上单调递增;
(Ⅲ)在满足(Ⅱ)的条件下,解不等式
.
参考答案:
解:(Ⅰ)该函数为奇函数 ………………………1分
证明:函数定义域为
关于原点对称 ………………………2分
对于任意
有
所以函数为奇函数. ……4分
(Ⅱ)即
设任意
且
则
……6分
,即
∴ ∴ 函数在上单调递增. ………………8分
(Ⅲ)∵为奇函数
∴ …………10分
∵
函数
在上单调递增
∴
∴
即
或
…………12分
21. 制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
参考答案:
【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】应用题;数形结合.
【分析】设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元,列出x和y的不等关系
及目标函
数z=x+0.5y.利用线性规划或不等式的性质求最值即可.
【解答】解:设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元,则,
设z=x+0.5y=0.25(x+y)+0.25(3x+y)≤0.25×10+0.25×18=7,
当
即
时,z取最大值7万元
答:投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元时,才能使可能的盈利最大.
【点评】本题考查线性规划的应用问题,利用不等式的性质求最值问题,考查对信息的提炼和处理能力.
22. 设λ∈R,f(x)=,其中
,
已知f(x)满足
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)求不等式的解集.
参考答案:
考点:两角和与差的正弦函数;平面向量数量积的运算;正弦函数的对称性;余弦函数的图象. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
分析:(1)利用向量的数量积以及两角和的正弦函数,化简函数的解析式,利用正弦函数的单调性求解即可.
(2)直接利用余弦函数的图象与性质,写出不等式的解集即可. 解答: 解:(1)f(x)=
,其中
,
=λsinxcosx﹣
cos2x+sin2x=
…
∵,∴…
∴
令,
得,
∴f(x)的单调递增区间是…
(2)∵,
∴
∴
∴
不等式的解集是…
点评:本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数,三角函数的单调性的应用,考查计算能力.
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