第２９卷第３期 Ｖｌ０１．２９ Ｎｏ．３ 长春师范学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｍａｌ ｏｆＣｈａｎｇｃｈｕｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） ２０１０年６月 Ｊｕｎ．２０１０ 罗尔定理推广形式的总结与再推广 祝微 ，陈继龙２ （齐齐哈尔高等师范专科学校理工系，黑龙江齐齐哈尔 １６１００５） ［摘要］本文总结了罗尔定理的６个推广形式，并在此基础上又加以推广，并证明了４个推广定理。 ［关键词】罗尔定理；无限区间 ［中图分类号】０１７２ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１００８—１７８Ｘ（２０１０）０３—００３０—０３ 微分中值定理是微分学中的一个重要定理，它是研究函数在区间上整体性质的有力工具．而罗尔定理又是 微分中值定理中最基本的定理，是证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础．曾有人对罗尔定理给予了一 些推广，也得出了一些较好的结果．本文在这些推广的基础上，对罗尔定理的推广进行了再讨论． １罗尔定理的推广 形式１…若函数 形式２［ ］若函数 ６），使／（ ）＝０． ）在（ａ，６）内可导，ｌｉａ，（ｒ ）＝ｌｉｍ，（ ），则至少存在一点 ∈（口，６），使尸（ｅ）：０． ．）在（０，６）内可导，ｌｉａ，（ｒ ）＝ｌｉｍｆ（ｘ）＝＋ｏｏ（或一∞），则至少存在一点 ∈（口， 形式３［ 】若函数 ）在［口，＋∞）上连续，在（８，＋∞）内可导，且 口）＝ｌｉｍ （ａ，＋∞），使 （ ）＝０． ）则至少存在一点 ∈ ，形式４【 ］若函数厂（ ）在（一∞，６）内可导，ｌｉｍ厂（ ）＝ｌｉｍ厂（ ）＝Ａ，则至少存在～点 ∈（一∞，６），使 ｘ－＊ｂ ’ 田 厂（ ）＝０． 形式５［ ］若函数厂（ ）在（一∞，＋∞）内可导，ｌｉａｒ ｆ（ｘ）＝Ａ，则至少存在一点 ∈（一∞，＋∞），使厂（ ） ＝０． 形式６［ 】若口＜ｃ＜ｂ，，（ ）和ｇ（ ）都在［口，６］上连续，在（ｎ，６）内二阶可导，且 （０）＝ｇ（口），，（ｃ）＝ ｇ（ｃ）， ｂ）＝ｇ（ｂ），则至少存在一点 ∈（ａ，ｂ），使 （ ）＝ （ ）． ２罗尔定理的再推广 削弱形式６的定理条件，则有 形式７若口＜ｃ＜６，，（ ）和ｇ（ ）都在（口，６）内二阶可导，且ｌｉａｆ（ｒ ）＝１ｍ． ｇ（ ），，（ｃ）＝ｇ（ｃ）， ．＃。＋４ ●ｎ ｌｉｍ ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｇ（ ），则至少存在一点 ∈（ａ，６），使 （ ）＝ （ ）． １Ｆ ６ ｒ＋６ —［收稿日期］２００９—１２—０８ ［基金项目］黑龙江省高教处课题（１１５Ｃ一８５６）。 ［作者简介］祝·微（１９７７一），女，黑龙江齐齐哈尔人，齐齐哈尔高等师范专科学校理工系讲师，从事基础数学研究。 ３Ｏ· 证明：构造辅助函数，使其满足罗尔定理条件，因此需补充定义域：（口，６）一［口，ｂ］．构造函数 ｌｉｍ／－（ ）， 『＋口＋ ＝口， ｌｉａｒ 。）， ＋口 Ｆ（ ）＝ ）， ｌｉｍ ）， ｇ（ｘ）， ｌｉｒａ ｇ（ｘ）， 『＋６’ 『．６一 显然，ｌｉａｒ ｒ（ｘ）＝ｌｉａｒ （ ）也在口点和ｂ点连续． ∈ ＝ （６ ． ）＝Ｆ（口），ｌｉａｒ Ｆ（ ）＝ｌｉｍ ｆ（ ）＝Ｆ（ｂ），故Ｆ（ ）在口点和ｂ点连续．同理，Ｇ 已知 ＝口 ６ 、 ）和ｇ（ ）都在（口，ｂ）内二阶可导，则有Ｆ（ ）和ｃ（ ）在［ａ，ｃ］上连续，在（口，ｃ）内可导，且Ｆ（ｏ） Ｇ（口），Ｆ（ｃ）＝Ｇ（ｃ），设 （ ）＝Ｆ（ ）一Ｇ（ ），则 （ ）也在［口，ｃ］上连续，在（口，ｃ）内可导，且 （口）： （ｃ），由罗尔定理得，和 在（口，ｃ）内至少存在一点 ｌ，使得 （ １）＝０，即 （ １）＝Ｇ （ １），则 （ １）＝ｇ （ １）． ／ＬＣ 同理，至少存在一点 ∈（ｃ，ｂ），使得，（、， ）＝ｇ （ ２）． 记 （ ）＝厂（＝ ），ｋ（ ）＝ｇ （ ），由于ｈ（ ）和ｋ（ ）都在［ ｌ， ］上连续，在（ ｌ， ）内可导，且ｈ（ １）＝ ｋ（ １），ｈ（ ）＝ｋ（ ２），由前面所得结论知，至少存在一点 ∈（ ｌ， ）ｃ（ｎ，ｂ），使得 （ ）＝ｋ（ ），即厂（ ）＝ （ ）． 将形式６的有限区间推广到无限区间，有 形式８若０＜ｃ，ｆ（ ）和ｇ（ ）都在（口，＋∞）内二阶可导，且ｌｉａｒ ｆ（ ）＝ｌｉａｒ ｇ（ ），ｆ（ｃ）＝ｇ（ｃ）， ｌｉｍ ）＝ｔｉｍ ｇ（ ），则至少存在一点 ∈（口，＋∞），使 （ ）＝ （ ）． 证明：构造辅助函数 Ｆｃ ，＝｛Ｌ ｌｉｍ ，）， ＝ ａ‘ ＇＋∞ ’和ｃｃ ＝｛【 ｇｌｉｍ ｇ， （ ），， ＝口：． ’＋， ∞ ’ 显然 Ｆ（ ）＝ｌｉｍ ）＝Ｆ（口），ｌｉｍ Ｇ（ ）＝ｌｉｍ ｇ（ ）＝Ｇ（口），则Ｆ（ ）和Ｇ（ ）在口点连续．又因为 ｌｉａｒ ）＝ｌｉｍ ｇ（ｘ），所以Ｆ（口）＝Ｇ（口）． 已知 ）和ｇ（ ）都在（口，＋∞）内二阶可导，则有Ｆ（ ）和Ｇ（ ）在［ａ，ｃ］上连续，在（口，ｃ）内可导，且 Ｆ（ａ）＝Ｇ（口），Ｆ（ｃ）＝Ｇ（ｃ），设 （ ）＝Ｆ（ ）一Ｇ（ ），则 （ ）也在［口，ｃ］上连续，在（口，ｃ）内可导，且 （口） ＝ （ｃ），由罗尔定理得，在（口，ｃ）内至少存在一点 １，使得 （ １）＝０，即Ｆ （ １）＝Ｇ （ １），则厂（ １）＝ｇ （ １）． 根据已知， （ｃ）＝ Ｃ）一ｇ（Ｃ）＝０． １ｉａｒ （ ）＝ｌｉａｒ［ ）一ｇ（ ）］＝ｌｉｒａ厂（ ）一ｌｉｒａ ｇ（ ）＝０，即 （ｃ）＝ｌｉａｒ （ ）． 又 （ ）也在［ｃ，＋。。）上连续，在（ｃ，＋∞）内可导， （ｃ）＝ｌｉｒａ （ ），由前面推广的形式３，则至少存在 一点 ∈（ｃ，＋∞），使得 （ ）：０，即 （ ）＝ｇ （ ）． 同样，记ｈ（ ）＝ （ ），ｋ（ｘ）：ｇ （ ），由于ｈ（ ）和｜ｊ｝（ ）都在［ ｌ， ］上连续，在（ Ｉ， ２）内可导，且ｈ（ １） ＝ｋ（ １），ｈ（ ）：ｋ（ ），由前面所得结论知，至少存在一点 ∈（ １， ２）ｃ（口，＋∞），使得ｈ（ ）＝ｋ（ ），即 厂（ ）＝ （ ）． 形式９若ｃ＜ｂ，ｆ（ ）和ｇ（ ）都在（一ｏ。，ｂ）内二阶可导，且ｌ ｆ（ ）＝ｌｉａｒ ｇ（ ），ｆ（Ｃ）＝ｇ（ｃ）， ｌｉｍ，（ ）＝ｌｉａｒ ｇ（ ），则至少存在一点 ∈（一∞，ｂ），使 （ ）＝ （ ）． 上述形式９的证明与形式８类似，这里从略． 形式ｌ０若 ）和ｇ（ ）都在（一∞，＋∞）内二阶可导，且ｒ＋ｌｉｎ一∞ １厂（ ）＝ｌｆ＋ｉｍ ｇ（ｘ），一∞ 厂（ｃ）＝ｇ（ｃ），ｌ『．ｉａｒ＋ ） ＝ｌｉａｒ ｇ（ ），则至少存在一点 ∈（一∞，＋∞），使厂（ ）： （ ）． 证明：已知厂（ ）和ｇ（ ）都在（一∞，＋∞）内二阶可导，则 （ ）在 ∈（一∞，ｃ）和［ｃ，＋∞）上连续，叉根 据已知， （Ｃ）＝，（Ｃ）一ｇ（ｃ）＝０， ￡ ｉｒａ西（ ）， ｌｉａｒ （ ）＝ｌｉａ［ｒ ）一ｇ（ ）］＝ｌｉｍ ｆ（ ）一ｌｉｍ ｇ（ ）：０，即 （ｃ）＝１一∞ ｒ＋～∞ 一一∞ 一一∞ ．一∞ ．．—·＋∞ ｌｉｍ （ ）＝ｌｉｍ［ ）一ｇ（ ）］＝ｌｉｍ ＋∞。 一＋∞ ｉｍ）一ｌｉｍ ｇ（ｘ）＝０，即 （ｃ）＝１＋∞ ．…（ ）， ｒ．＋∞ 由前面推广的形式３和形式４，则至少存在一点 ｌ∈（一∞， ）和 ∈（ｃ，＋∞），使得 （ －）＝０， （ ） ＝０，虽ｐ，（ １）＝ｇ （ Ｉ）， （ ２）＝ｇ （ ２）． 同样，记ｈ（ｘ）：厂（ ），ｋ（ｘ）＝ｇ （ ），由于 （ ）和 （ ）都在［ｅ ， ］上连续，在（ ｌ， ２）内可导，且＾（ ·） ： （ １），＾（ ２）＝ （ ２），由前面所得结论知，至少存在一点 ∈（ ｌ， ２）ｃ（一∞，＋∞），使得 （ ）＝ （ ），即 厂，（ ）＝ｇＰ！（ ）． ［参考文献］ ［１］马艳秀．罗尔定理的推广及证明［Ｊ］．科技资讯，２ｏｏ９（２￣）． ［２］惠菊梅．罗尔定理的推广形式及应用再讨论［Ｊ］．青海大学学报：自然科学版，２ｔｘ￣７（５） ［３］张二丽，王鹏涛．罗尔定理及其推广［Ｊ］．科技资讯，２ｏｏ９（２４）． Ｓｕｍｍａｒｙ ａｎｄ Ｆｕｒｔｈｅｒ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｆｏｒｍ ｏｆ Ｒｏｌｌｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ ＺＨＵ Ｗｅｉ ，ＣＨＥＮ Ｊｉ—ｌｏｎｇ２ （Ｑｉｑｉｈａｒ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｑｉｑｉｈａｒ １６１００５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ￣，ｔｌｍｌｎａｒｉｚｅ￥ｓｉｘ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆｏｒｍｓ ｏｆ Ｒｏｌｌｅ ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｏｎ ｔｈｉｓ ｂａｓｉｓ，ｉｔ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｓ ａｎｄ ｐｒｏｖｅｓ ｆｏｕｒ ｅｘｔｅｎｄ— ｅｄ ｔｈＧ￣ｉ＇ｅｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｒｏｌｌｅ ｔｈｅｏｒｅｍ；ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｒｖａｌ ·３２·