常微分方程选择题及答案

湖北师范学院优质课程

《常微分方程》

试题库及试题解答

课程负责人：李必文

，

数 学 系 2005年3月18日

选 择 题（每小题4分）

1、下列方程中为常微分方程的是（ ）

,

2(A) x-2x10 (B)y' xy

2

u2u2u(C) 22 (D) yx2c (c为常数）

txy222x2

2、下列微分方程是线性的是（ ）

(A) y' xy (B) y\"ye (C)y\"x0 (D) y'-yxy

2-2x3、方程 y\"3y' 2yxe特解的形状为( )

2-2x 2-2x (A) y1axey (B) y1(axbxc)e

2(C) y1x(axbxc)e (D) y1x(axbxc)e

4、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ） —

2 222(A) 4,x (B) x,2x,x (C) 5,cosx,sinx (D) 1,2,x,x

2y5、微分方程xdy-ydxyedy的通解是( )

(A)xy(c-e) (B)xy(ec) (C)yx(ec) (D) yx(c-e)

6、下列方程中为常微分方程的是（ ）

(A) tdtxdx0 (B)sinx1

2yyxy22-2x 22-2x2u2u (C) yx1c (c为常数） (D) 20 2xy7、下列微分方程是线性的是（ ）

(A) y'1y (B)

:

2

x8、方程 y\"-2y' 2ye(xcosx2sinx)特解的形状为( )

(C)y1e[(AxB)cosx(CxD)sinx] (D)y1xe[(AxB)cosx(CxD)sinx]

9、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）

3(A)1, x,x (B)2x,x,x

22 dy124 (C) y'bycx (D) y'xy0 dx1xyxx(A) y1e[(AxB)cosxCsinx] (B) y1e[AxcosxCsinx]

xx(C)1,sinx,cos2x (D)5,sin(x1),cos(x1)

210、微分方程ydx-xdyyexdx的通解是( ) —

222(A)yx(ec) (B)xy( ec) (C)xy(c-e) (D)yx(e-c)

11、下列方程中为常微分方程的是（ ）

xxxxx2(A) xy-10 (B) y'

y222u2u2u2(C) 222 (D) xyc (c为常数）

xy

12、下列微分方程是线性的是（ ）

(A) dydxyx (B)y2+6y=1

13、

方程y+y=2sinx特解的形状为( ) （(A) y1x(AcosxBsinx) (C)yBxcosx

14、下列函数组在定义域内线性无关的是（ (A) 0,1, t (B) et，2et,e-t

15、微分方程ydx-xdy=x2exdx的通解是( )

(A) y=x(c+ex) (B) x=y(c+ex )

16、下列方程中为常微分方程的是（ ） —

(A) x2+y2-z2=0 (C) utux 17、下列微分方程是线性的是（ ）

(A) x(t) -x=f(t) (B)y3+y=cosx

18、方程y-2y+3y=e-xcosx特解的形状为( (A)y1AcosxBsinx (C)yx1e(AcosxBsinx)

19、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ,

(A)

et,e2t,e3t (C) 1，sin2(t1),cos(2t2)

20、微分方程xdx-ydy=y2eydy的通解是( )

(A) x=y(ey + c) (B) x=y(c-ey ) (C) y=y3+sinx (D)y+y =y2cosx

(B) y1Axsinx (D)y1Ax2(cosxsinx) ）

(C)e3tsin2t,e3tcos2t (D) t,|t|,2t4t2(C) x=y(c-ex) (D) y=x(c-ex) (B) ycex

(D) y=c1cost+c2sint (c1,c2为常数） (C) x+y2=y (D) y+(1/3)y =y4

)

(B) y1Aex

(D)yx1Axecosx ） (B)

0,t,t2

(D) 4-t,2t-3,6t+8 (C) y=x(ex+c) (D) y=x(c-ey)

21、下列方程中为常微分方程的是（ ）

uu (D) y2y'ex (A) x3+1=0 (B) yce (C)

txx

22、下列微分方程是线性的是（ ） {

2(A)y+y2=1+x (B)y'+y=cosx (C) y-2y=2x2 (D) xdx+ydy=0

3x23、方程y6y'9y16e特解的形状为( )

3x23x(A) y1Ae (B)y1Axe

(C) y1Axe (D) y1e(Asin3xBcos3x)

24、下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）

(A)e,xe,xe (B) 2,cosx, cosx (C)1,2,x (D) 0,ex,ex

25、微分方程ydx-xdy=2x2exdx的通解是( ) &

(A) y=x(c-2ex) (B) x=y(c+2ex ) (C) x=y(c-2ex) (D) y=x(c+2ex) 26、微分方程

xx2x222 5x4x23x3x27、微分方程2yy=(y)2的通解（）

dyyytg的通解为（ ） dxxxx1yy(A) cx (B) sin=x+c (C) sin=cx (D) sin=cx

yyxxsinx(A) (x-c)2 (B) c1(x-1)2+c2(x+1)2 (C) c1+(x-c2)2 (D) c1(x-c2)2

28、微分方程xdy-ydx=y2eydy的通解为（）

(A) y=x(ex+c) (B) x=y(ey+c) (C) y=x(c-ex) (D) x=y(c-ey)

29、微分方程y-2y-3y=0的通解y为（） 、

(A)

c1cc2x3 (B) c1x23 (C) c1exc2e3x (D) c1exc2e3x xx

30、微分方程y''-3y'+2y=2x-2ex的特解y*的形式是（）

(A) (ax+b)ex (B) (ax+b)xex (C) (ax+b)+cex (D) (ax+b)+cxex 31、通过坐标原点且与微分方程

y(A) e

32、设y(x)满足微分方程(cos2x)y¹+y=tgx且当x=/4时y=0，则当x=0时y=( )

(A) /4 (B) -/4 (C) -1 (D) 1

dyx1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( ) dxx1 (B) eyx10 (C) eyx1 (D) 2yx22x

@

33、已知y=y(x) 的图形上点M(0,1)处的切线斜率k=0，且y(x)满足微分方程y1(y')2，则y(x)=( )

(A) sinx (B)cosx (C) shx (D) chx

34、微分方程y-2y-3y=0的通解是y=( )

c2x3xx3xcececece (C) (D) 12123xd2ydyb(x)yf(x)的特解， 35、设y1(x),y2(x),y3(x)是线性非齐次方程2a(x)dxdx则y(1c1c2)y1(x)c1y2(x)c2y3(x)

(A)xx3 (B) c1x3\"

(A) 是所给微分方程的通解 (B) 不是所给微分方程的通解 (C) 是所给微分方程的特解

(D) 可能是所给微分方程的通解 也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解

36、设 y(x)满足 ysinx=yLny，且y(/2)=e，则y(/4)=（ ） (A) e/2 (B)e (C) e

237、微分方程ynytgxycosx0的通解是（ ）

(A) arctgxc (B)

-121 (D) e23

111 (arctgxc) (C) arctgxc (D) arctgxc xxx (B) xarctgy1cearctgyarctgy

38、微分方程(1+y2)dx=(arctgy-x)dy的通解为（ ）

》

(A) xarctgy1cearctgy

c (D) xarctgyce(C) xarctgyce

139、微分方程y4y2cos2x的通解为y=（ ）

(A) ec1xc2xc3 (B) c1xc2xc3

x22x32arctgyc

(C) c1ec2xc3 (D) c1xc2xc3

40、微分方程y7y6ysinx的通解是 y=（ ）

x(A) e574sinx774cosx (B) c1exc2sinxc3exc4cosx

|

xx(C) (ccx)e(ccx)e (D) (ccx)sinx(ccx)cosx

41、通过坐标原点且与微分方程

y(A) e

42、设y(x)满足微分方程xy¹+y-y2Lnx=0且当y(1)=1,则y(e)=( )

dyx1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( ) dxx1 (B) eyx10 (C) eyx1 (D) 2yx22x

(A) 1/e (B) 1/2 (C) 2 (D) e

222243、已知yy(x)满足(x2xyy)dx(y2xyx)dy0，且y(1)1则

12y( ) 2 (A) 1 (B) 1/2 (C) 44、微分方程y212 (D) 222xy'满足初始条件y1, y'3的特解是y=( ) 2x0x0x1*

(A)x3x3 (B) x33x1 (C) x2x3 (D) x23x1

45、微分方程y6y'13y0的通解是y=( )

(A) e3x3x(c1cos2xc2sin2x) (B) e2x(c1cos3xc2sin3x)

2x(C) e(c1cos2xc2sin2x) (D) e46、微分方程y'(c1cos3xc2sin3x)

2yc0满足y0的特解y=（ ）

x2x4x2x2412 (C)x2(lnxln2) (D)2(lnxln2) (A) 2 (B)

44xxx

247、微分方程y'ytgxycosx0的通解是（ ）

1(xc)cosx (B) y(xc)cosx y1xcosxc (D) yxcosxc (C) y(A)

|

48、微分方程(y2-6x)y +2y=0的通解为（ ）

(A) 2x-y2+cy3=0 (B) 2y-x3+cx3=0 (C) 2x-cy2+y3=0 (D) 2y-cx3+x3=0

1cos2x的特解的形式是y=（ ） 49、微分方程y4y2(A) acos2x (B) axcos2x

(C)asin2xbcos2x (D)axsin2xbxcos2x

50、满足微分方程y7y6ysinx的一个特解 y*=（ ）

|

(A)e(C)ex574sinxsinx774cosx (B)ex574sinx574774cosx

7746x574774cosx (D)exe6xsinxcosx

51、初值问题y\"4y0,y(0)0,y'(0)1的解是y(x)（ ）（其中其通解为

y(x)c1sin2xc2cos2x,c1,c2为任意常数）

(A)sin2x (B)sin2x (C)sin3x （D）sin3x

52、下列方程中为常微分方程的是（ ）

42(A)x3xx10 (B) y\"y'x

213121312u2u2u(C) 22 (D)uv2w

txy53、下列微分方程是线性的是（ ）

(A)y\"xy'yx|

2 (B)y'xy (C)y\"xyf(x) (D)y\"y'y

222354、已知F(x,y)具有一阶连续偏导，且F(x,y)(ydxxdy)为某一函数的全微分，则（ ）

(A)

FFFFFFFFyyx (B)x (C)x (D)y xyxyxyxy

55、设y1(x),y2(x),y3(x)是二阶线性非齐次微分方程y\"P(x)y'Q(x)yf(x)的三个线性无关解，c1,c2是任意常数，则微分方程的解为( )

(A)c1y1c2y2y3 (B)c1y1c2y2(1c1c2)y3 (C)c1y1c2y2(c1c2)y3 (D)c1y1c2y2(1c1c2)y3 56、若连续函数f(x)满足关系式f(x)tfdtln2，则f(x)为（ ） 02x2xx2x(A)eln2 (B)eln2 (C)eln2 (D)eln2

2x

3x3x57、若y1e,y2xe，则它们所满足的微分方程为（ ）

（

(A)y\"6y'9y0 (B)y\"9y0 (C)y\"9y0 (D)y\"6y'9y0

58、设y1,y2,y3是二阶线性微分方程y\"p(x)y'q(x)yr(x)的三个不同的特解，且

y1y2不是常数，则该方程的通解为（ ）

y2y3(A)c1y1c2y2y3 (B)c1(y1y2)c2(y2y3)y1

(C)c1y1c2y3y2 (D)c1(y1y2)c2(y2y3) 59、设f(x)连续，且满足方程

1nnftxdtnf(x)(nN)，则f(x)为（ ）

01(A)cx (B)c(c为常数） (C)csinnx (D)ccosnx

60、设y1,y2是方程y\"p(x)y'q(x)y0的两个特解，则yc1y1c2y2（c1,c2为任意常数）（ ） 《

(A)是此方程的通解 (B)是此方程的特解 (C)不一定是该方程的解 (D)是该方程的解

61、方程(x2x)y\"(x2)y'(2x2)y0的通解为（ ）

xxxx2x(A)yc1ec2 (B)yc1ec2e (C)yc1ec2x (D)yc1ec2x

x62、微分方程y\"y'e1的一个特解形式为（ ）

22(A)aeb (B)axebx (C)aebx (D)axeb 63、方程(pxyy)dx(qxy2x)dy0是全微分的充要条件是（ ）

2264、表达式[cos(xy)ay]dx[bycos(xy)3x]dy是某函数的全微分，则（ ）

]

xxxx22(A)p4,q2 (B)p4,q2 (C)p4,q2 (D)p4,q2

(A)a2,b2 (B)a3,b2 (C)a2,b3 (D)a3,b3

x65、方程y\"'y\"y'yxe是特解形式为（ ）

(A)(axb)e2x (B)x(axb)e

xxx(C)x(axb)e (D)e[(axb)cos2x(cxd)sin2x]

x*66、方程y\"2y'yxe的特解y的形式为（ ）

x(A) axe (B)(axb)e (C)x(axb)e (D)x(axb)e 267、已知y1coswx与y23coswx是微分方程y\"wy0的解，则yc1y1c2y2是

xx2x（ ） ,

(A) 方程的通解 (B)方程的解，但不为通解 (C)方程的特解 (D)不一定是方程的解

x*68、方程y\"3y'2y3x2e的特解y的形式为（ ）

(A) (axb)e (B)(axb)xe (C)(axb)ce (D)(axb)cxe

22x69、方程y\"3y'2yxe特解的形式为（ ）

(A) yaxe222xxxxx (B)y(axbxc)e2x2222x

2x(C)yx(axbxc)e (D)yx(axbxc)e

70、下列函数在定义域内线性无关的是（ ） 】

2222(A) 4x (B)x2xx (C)5cosxsinx (D)12xx

2y71、微分方程xdyydxyedy的通解是（ ）

(A)xy(ce) (B)xy(ec) (C)yx(ec) (D)yx(ce) 72、方程

yyxydxdyxy5,3x的奇点为（ ） dtdt(A)（0,0） (B) (0,5) (C) (5,5) (D) (5,0)

73、（0,0）为系统

：

dxdyy,2x3y的（ ） dtdt(A) 鞍点 (B) 结点 (C) 中心 (D) 焦点 74、方程

dxdydz的首次积分是（ ） xzyzxy2x2(A)xyzc (B)c (C)x2yzc (D)xzx2c

ydxdydz75、方程2的首次积分是（ ）

xy2z22xy2xzxyzyzx2y2z2(A) (B) (C) (D)ccc cx2xxy

dx2xydt76、系统的奇点类型为（ ）

dyx2ydt(A) 稳定结点 (B) 不稳定结点 (C) 稳定焦点 (D) 不稳定焦点

3dxxydt477、系统的奇点类型为（ ）

dy7x4ydt；

(A) 鞍点 (B) 焦点 (C) 中心 (D) 结点

x78、方程y\"yxe有形如（ ）特解

2xx(A)yAxe (B)y1(AxBxc)e

(C)y1(AxB)e (D)Ae

t279、方程x\"6x'13xe(t5t12)特解形状为（ ）

2tt(A)x1(AtBtc)e (B)x1(AtB)e

xxtt（C)x1Ate (D)x1Ae

x80、方程y\"2y'2yecosx的特解形状为（ ）

，

xx(A)y1Acosxe (B)y1Asinxe xx(C)y1e(AcosxBsinx) (D)y1Ae

81、方程x\"2x'2xtecost的特解形状为（ ）

2t2t(A)x1(AtBtc)ecost (B)x1(AtBtc)esint

t2t2t(C)x1e(AcostBsint) (D)x1(AtBtc)ecost(DtEtF)esint

xyyx82、微分方程(yee)dx(xee)dy0的通解为（ ）

t(A)yexec (B)yexec (C)yexe、

xyyxxyc (D)yexxeyc

83、微分方程(esiny2ysinx)dx(ecosy2cosx)dy0的通解为（ ）

(A)esiny2ycosxc (B)ecosy2ycosxc (C)esinyycosxc (D)ecosy2ycosxc

yy84、微分方程edxx(2xye)dy0的通解为（ ）

xxxxxxeyyy2c (C)xeyxyc (D)eyc (A)xeyc (B)xxy2

x285、方程(e3y)dx2xydy0的通解为（ ）

%

(A)xexyc (B)(x2x)exyc

2x322x32x322x32(C)(x2x2)exyc (D)(x2)exyc

86、下列方程为常微分方程的是（ ）

uu2u(A)xyz0 (B)2 (C)yAsintBsint (D)y'Aex

xyy4y324y2287、方程(2xye2xyy)dx(xyexy3x)dy0的积分因子为（ ）

1111(A)(x)2 (B)(x) (C)(y)4 (D)(y)2

yyxx22288、方程ex(2xye)dy0的积分因子为（ ）

(A)(x)xyy1111(y)(y) (B) (C) (D) (x)22yyxx289、方程(e3y)dx2xydy0的积分因子为（ ）

(A) (x):

90、方程(y1xy)dxxdy0的积分因子为（ ）

xx1122 (B)(x)x (C) (y) (D) (y)y

yxyy(A)(x)e (B)(x)e (C)(y)e (D)(y)e

2391、方程(2xy2y5)dx(2x2x)dy0的积分因子为（ ）

(A) (x)31111(y)(y) (B)(x) (C) (D)

y1y2x1x22292、方程2xydx(xy1)dy0的积分因子为（ ）

(A) (x)x1111 (B) (x)2 (C) (y) (D) (y)2

yyxxx93、方程edx(ectgx2ycosy)dy0的积分因子为（ ）

2294、方程ydx(xyx)dy0的积分因子为（ ）

【

(A)(x)sinx (B)(x)cosx (C)(y)siny (D)(y)cosy

(A) (x)1111(y)(x,y)(x,y) (B) (C) (D)

y2x2y2xyx2

32295、方程ydx2(xxy)dy0的积分因子为（ ）

(A) 

1111 (B) (C) (D)

xyx2y2x2yx2x33y696、方程3xdxdy0的积分因子为（ ）

yxy2(A)x (B)y (C)xy (D)xy

97、下列方程中为常微分方程的是（ ）

$

2(A) x-2x10 (B)y' xy

2 22uuu (C) 22 (D) yx2c (c为常数） txy

98、下列微分方程是线性的是（ ）

(A) y' xy (B) y\"ye (C)y\"x0 (D) y'-yxy

222x22选择题答案

1 6 10 16 21 26 31

B A B B D C A

2 ！ 7 / 12 （ 17 · 22 [ 27 [

）

C B A A C D C

3 8 13 18 23 28 33

C D A C B D D

4 9 14 19 24 29 34

A A C A A D D

5 10 15 20 25 30 35

A B D B A D D

36 C 41 A 46 A 51 B 56 B 61 C 66 D 71 B 76 C 81 D 86 D 91 B 96 C

32 ; 37 B [ 42B —47C |52 B { 57 D ， 62D ：67B |72 B & 77 D 82 C 87 C 92 D 97

B

38 A 39 43 D 44 48 A 49 53 A 54 58 B 59 63 C 64 68 D 69 73 B 74 78 C 79 83 A 84 88 A 89 93 C 94 98

C

C 40 B 45 D 50 B 55 A 60 B 65 C 70 A 75 A 80 B 85 B 90 C 95

C A B B D B C B C C B D