利用与圆有关的几何知识证明勾股定理

利用与圆有关的几何知识证明勾股定理

作者：侯美琦

来源：《中学生数理化·学研版》2014年第05期

摘要：勾股定理是世界上最伟大的定理之一，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，才使它反复被人论证，本文利用与圆有关的几何知识证明勾股定理。 关键词：勾股定理证明方法 一、 勾股定理概述

《周髀算经》卷上之一记载：昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度。夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”意思是说，直角三角形的直角边为3和4时，斜边必为5. 书中还记载了陈子关于勾股定理的一般叙述：测日高，“若求邪至日，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”，这说明了这时中国已掌握了一般性的勾股定理。

古今中外，证明勾股定理的方法非常多，一位叫卢米斯（E.S.Loomis）的数学家搜集各种证明方法，于 1940 年出版《毕达哥拉斯命题》（The Pythagorean Proposition）一书，收集了 367 种证法。1978 年一位叫刘毓璋的先生在台湾出版名为《易经之数理思想》的著作，在第一章“商高定理”中给出他“搜集及自己创造发明”的证明方法 85 种。我国古代陈子的解释给出了勾股定理的算法化证明，数学家赵爽第一个用代数方法，根据面积相等，通过计算证得定理；西方数学家以毕达哥拉斯、欧几里得为代表的一批数学家从公理本身出发，借助演绎推理创立了第一流的数学。

二、 用与圆有关的几何知识证明定理 方法一：利用切割线定理证明.

分析：在RtΔABC中，以B为圆心， CB为半径作圆交AB于D，交BE的延长线于E，如图1。由切割线定理，得

方法二：利用三角形的外接圆证明.

分析：圆中的托勒密定理是指圆内接四边形两条对角线的乘积等于对边乘积之和.如图2，连接 易知四边形 为矩形，由托勒密定理，得

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

所以：

方法三：利用三角形内切圆证明. 分析：如图3，作 设圆的半径为r，连接 利用面积相等有 ，

方法四：利用三角形的旁切圆证明. 分析：以 根据面积相等有 ，

以上证明只是众多方法中的冰山一角，笔者会继续研习新的证明方法。此外，勾股定理具有条件少、结论明确、形式整齐美观的特点，还是历史上第一个沟通代数和几何的定理。它的这些好的性质，决定了它被广泛的应用到生活当中，为社会发展服务。