天津市蓟县2015届高三上学期期末数学试卷（理科）
一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）i是虚数单位，满足 A． +i
B． ﹣i
=i的复数z=（）
C． ﹣+i
D．﹣﹣i
2．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣3x的取值范围是（）
A． [﹣6，] B． [1，] C． [﹣6，1] D．[﹣，6]
3．（5分）如图所示程序框图，算法流程图的输出结果是（）
A． 0 B． B﹣1 C． ﹣2 D．﹣3 4．（5分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（）
A． 0.9，35
5．（5分）双曲线
B． 0.9，45
C． 0.1，35 D．0.1，45
（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为
30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）已知下列四个命题：
①U为全集，A、B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充要条件；
22
②已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y，命题q：若x＞y，则x＞y，命题p∧（￢q）为真命题；
22
③命题“对任意x∈R，都有x≥0”是否定为“不存在x∈R，都有x＜0”；
④一物体沿直线以v=2t+3（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度运动，则物体在3～5s间进行的路程是22m，其中真命题的个数为（） A． 0 B． 1 C． 2 D．3
7．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学
等于（）
A．
B．
C．
D．
，则
8．（5分）已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右
相交于点A、B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于C、D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b，当m变化时，的最小值为（）
A． 16 B． 8 C． 8 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
10．（5分）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．若△ABC的面积
S=AD•AE，则∠BAC=
11．（5分）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C的参数方程为（t为参数），若斜率
为1的直线l经过抛物线C的焦点，在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ=r﹣16，如果直线相切l与曲线C1相切，则r=． 12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．
13．（5分）已知f（x）是定义在[﹣3，3]上的偶函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，3]上有8个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．
22
14．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有种（用数字作答）．
三、解答题（本题共6道大题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）设函数
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当
时，y=g（x）
．
的最大值． 16．（13分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金、对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为
，且各车是否发生事故
相互独立，求一年内该单位在此保险中： （1）获赔的概率；
（2）获赔金额ξ的分布列与期望． 17．（13分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点． （Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）设AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为①求异面直线PB与AD所成角的正弦值； ②求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．
，
18．（13分）已知函数
．
（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．
19．（14分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
*
（Ⅱ）若数列{bn}滿足是等差数列； （Ⅲ）证明：
20．（14分）已知椭圆
+
．
，证明：数列{bn}
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0）、F2（c，0），|=2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，|≠0．
|=a+x；
Q是椭圆外的动点，满足|并且满足
•
=0，|
（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
2
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b．若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．
天津市蓟县2015届高三上学期期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）i是虚数单位，满足 A． +i
B． ﹣i
=i的复数z=（）
C． ﹣+i
D．﹣﹣i
考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数．
分析： 利用复数的运算法则即可得出．
解答： 解：∵满足=i，∴z===．
故选：B．
点评： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
2．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣3x的取值范围是（）
A． [﹣6，] B． [1，] C． [﹣6，1] D．[﹣，6]
考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论． 解答： 解：由z=y﹣3x，得y=3x+z， 作出不等式对应的可行域， 平移直线y=3x+z，
由平移可知当直线y=3x+z经过点A时， 直线y=3x+z的截距最小，此时z取得最值，
由，解得，
即A（，3）
代入z=y﹣3x，得z=3﹣=， 即z=y﹣3x的最小值为． 故﹣6≤z≤ 故选：A
点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
3．（5分）如图所示程序框图，算法流程图的输出结果是（）
A． 0 B． B﹣1 C． ﹣2 D．﹣3
考点： 程序框图．
专题： 算法和程序框图．
分析： 执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=8时，不满足条件x≤4，退出循环，输出y的值为﹣2． 解答： 解：执行程序框图，可得 x=1，y=1
满足条件x≤4，x=2，y=0 满足条件x≤4，x=4，y=﹣1 满足条件x≤4，x=8，y=﹣2
不满足条件x≤4，退出循环，输出y的值为﹣2． 故选：C．
点评： 本题主要考察了程序框图和算法，正确判断退出循环时y的值是解题的关键，属于基础题． 4．（5分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（）
A． 0.9，35
B． 0.9，45
C． 0.1，35
D．0.1，45
考点： 频率分布直方图． 专题： 计算题．
分析： 频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率．建立相应的关系式，即可求得．
解答： 解：从频率分布直方图上可以看出x=1﹣（0.06+0.04）=0.9， y=50×（0.36+0.34）=35， 故选：A
点评： 本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力，基本上是低起点题．
5．（5分）双曲线
（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为
30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题．
分析： 先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．
解答： 解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c
∴∴∴
，
，
故选B．
点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题． 6．（5分）已知下列四个命题：
①U为全集，A、B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充要条件；
22
②已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y，命题q：若x＞y，则x＞y，命题p∧（￢q）为真命题；
③命题“对任意x∈R，都有x≥0”是否定为“不存在x∈R，都有x＜0”；
2
2
④一物体沿直线以v=2t+3（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度运动，则物体在3～5s间进行的路程是22m，其中真命题的个数为（） A． 0 B． 1 C． 2 D．3
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．
分析： ①利用集合的关系及其运算即可判断出；
②命题p：是真命题；命题q：是假命题；则命题p∧（￢q）为真命题； ③利用命题的否定即可判断出；
④利用微积分基本定理可得路程为=，即可得出．
解答： 解：①U为全集，A、B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充要条件，正确；
22
②命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y，是真命题；命题q：若x＞y，则x＞y，是假命题；则命题p∧（￢q）为真命题，正确；
22
③命题“对任意x∈R，都有x≥0”的否定为“存在x∈R，都有x＜0”，因此不正确；
④一物体沿直线以v=2t+3（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度运动，则物体在3～5s间进行的路程是
=
=22，因此正确．
综上其中真命题的个数为3． 故选：D．
点评： 本题考查了简易逻辑的判定、集合之间的关系、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学
等于（）
A．
B．
C．
D．
，则
考点： 向量的共线定理；平面向量数量积的运算． 专题： 计算题．
分析： 由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解． 解答： 解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线， 又由点P在AM上且满足∴P是三角形ABC的重心 ∴=
=﹣
可
又∵AM=1 ∴∴
=
=﹣
故选A
点评： 判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：
或
8．（5分）已知两条直线l1：y=m和l2：y=
（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右
取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数．
相交于点A、B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于C、D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b，当m变化时，的最小值为（）
A． 16 B． 8 C． 8 D．4
考点： 对数函数的图像与性质．
专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析： 由题意设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，依题意可求得为xA，xB，xC，xD的值，a=|xA﹣xC|，b=|xB﹣xD|，利用基本不等式可求最小值
解答： 解：在同一坐标系中作出y=m，y=
（m＞0），与y=|log2x|的图象，
解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，
﹣mm
则由|log2x|=m，解得xA=2，xB=2； 由|log2x|=
（m＞0），解得xC=
﹣m
，xD=
；
∴a=|xA﹣xC|=|2
m
﹣
|，
|
b=|xB﹣xD|=|2﹣则
==2•
m
=2•
m
==
=2
当且仅当m+1=
4﹣1
=2=8，
3
，即m=1时取“=”号，
∴的最小值为8， 故选：B．
点评： 本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解投影的概念并能把问题转化为基本不等式求最值是解决问题的关键，属中档题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12π．
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题．
分析： 由题意三视图可知，几何体是有3个圆柱体组成的几何体，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．
解答： 解：由题意可知几何体是有两个底面半径为2，高为1的圆柱与一个底面半径为1，高为4的圆柱组成的几何体，
22
所以几何体的条件为V=2×2π×1+1π×4=12π． 故答案为：12π．
点评： 本题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象能力与计算能力． 10．（5分）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．若△ABC的面积
S=AD•AE，则∠BAC=90°
考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 直线与圆．
分析： 由题设条件推导出△ABE∽△ADC，从而得到AB•AC=AD•AE，再由
S=，且S=，能求出sin∠BAC=1，由此能求出∠BAC．
解答： 解：∵△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于E， ∴∠BAE=∠CAD，
∵∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角， ∴∠AEB=∠ACD， ∴△ABE∽△ADC，∴∵S=
，即AB•AC=AD•AE， ，且S=
，
∴AB•AC•sin∠BAC=AD•AE， ∴sin∠BAC=1，
又∵∠BAC是三角形内角， ∴∠BAC=90°． 故答案为：90°．
点评： 本题考查角的大小的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和三角形面积公式的合理运用．
11．（5分）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C的参数方程为
（t为参数），若斜率
为1的直线l经过抛物线C的焦点，在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且
2
以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ=r﹣16，如果直线相切l与曲线C1相切，则r=．
考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．
分析： 首先，根据抛物线C的参数方程为
2
，得y=8x，然后，得到直线l的方程为：
2
2
2
2
2
y=x﹣2，再根据曲线C1的极坐标方程为ρ﹣8ρcosθ=r﹣16，得到（x﹣4）+y=r，结合直线相切l与曲线C1相切，从而得到
．
解答： 解：由抛物线C的参数方程为y=8x，
得到焦点坐标为（2，0）， 直线l的方程为：y=x﹣2， ∴x﹣y﹣2=0，
2
（t为参数），得
曲线C1的极坐标方程为ρ﹣8ρcosθ=r﹣16，
222
∴（x﹣4）+y=r，
∵直线相切l与曲线C1相切， ∴
，
22
故答案为：．
点评： 本题重点考查了抛物线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题． 12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=
考点： 专题： 分析： 解答： ∴a=
．
余弦定理；正弦定理． 解三角形．
由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C． 解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，
∵b+c=2a， ∴c=
∴cosC=∵C∈（0，π） ∴C=
=﹣
故答案为：
点评： 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
13．（5分）已知f（x）是定义在[﹣3，3]上的偶函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，3]上有8个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，）．
考点： 函数零点的判定定理．
专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．
分析： 函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，3]上有8个零点（互不相同）可化为函数f（x）与函数y=a有8个不同的交点，作图求解．
解答： 解：函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，3]上有8个零点（互不相同） 可化为函数f（x）与函数y=a有8个不同的交点， 由题意作函数f（x）与函数y=a的图象如下，
2
故由图象可知，实数a的取值范围是（0，）； 故答案为：（0，）．
点评： 本题考查了函数的零点与函数图象的交点应用，属于基础题． 14．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有12种（用数字作答）．
考点： 计数原理的应用． 专题： 排列组合．
分析： 由题意，可按分步原理计数，根据题设中的规则可分六步解决这个问题，分别计算出每一步的填法种数，再由分步原理即可得到总的排列方法 解答： 解：由题意，可按分步原理计数，
第一步，第一行第一个位置可从a，b，c三字母中任意选一个，有三种选法， 第二步，第一行第二个位置可从余下两字母中选一个，有二种选法
第三步，第二行第一个位置，由于不能与第一行第一个位置上的字母同，故其有两种填法 第四步，第二行第二个位置，由于不能与第一行第二个字母同也不能第二行第一个字母同故它只能有一种填法
第五步，第三行第一个字母不能与第一行与第二行的第一个字母同，故其只有一种填法， 第六步，此时只余下一个字母，故第三行第二列只有一种填法 由分步原理知，总的排列方法有3×2×2×1×1×1=12种 故答案为：12
点评： 本题考查计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理，准确审题正确得出每一步的填法种数也很关键，本题需要考虑的因素较多，计数较复杂，有难度．
三、解答题（本题共6道大题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）设函数
（1）求f（x）的最小正周期．
．
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）
的最大值．
考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），根据f（x）与g（x）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f（x）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g（x）的最大值．
解答： 解：（1）f（x）=sin﹣∵ω=
cos， x）=
sin（
x﹣
xcos），
﹣cosxsin=sinx﹣cosx=（sinx
∴f（x）的最小正周期为T==8；
（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x））， 由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上， 从而g（x）=f（2﹣x）=当0≤x≤时，
≤
x+
≤sin[
（2﹣x）﹣，
cos
=
．
]=
sin[
﹣
x﹣
]=
cos（
x+
），
则y=g（x）在区间[0，]上的最大值为gmax=
点评： 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键． 16．（13分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金、对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为
，且各车是否发生事故
相互独立，求一年内该单位在此保险中： （1）获赔的概率；
（2）获赔金额ξ的分布列与期望．
考点： 离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．
分析： （1）设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故，k=1，2，3、由题意知A1，A2，A3之间相互独立，正难则反，该单位一年内获赔的对立事件是A1，A2，A3都不发生，用对立事件的概率做出结果．
（2）由题意知ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000，看出这四个数字对应的事件，做出事件的概率，写出分布列，求出期望，概率在解时情况比较多，要认真． 解答： 解：（1）设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故，k=1，2，3， 由题意知A1，A2，A3独立，且P（A1）=，P（A2）=
，P（A3）=
∵该单位一年内获赔的对立事件是A1，A2，A3都不发生， ∴该单位一年内获赔的概率为
．
（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000
，
=
=
=
，
=
=
=
，
P（ξ=27000）=P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3） =
，
综上知，ξ的分布列为 ζ 0 P
9000
18000
27000
设ξk表示第k辆车一年内的获赔金额，k=1，2，3，则ξ1有分布列 ζ1 0 9000 P ∴同理得
，
综上有Eξ=Eξ1+Eξ2+Eξ3≈1000+900+818.18=2718.18（元）
点评： 本题最后一问可以这样解：由ξ的分布列得
=
（元）
17．（13分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点． （Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）设AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为①求异面直线PB与AD所成角的正弦值； ②求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．
，
考点： 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： （Ⅰ）利用菱形与等边三角形的性质可得：AE⊥BC，于是AE⊥AD．利用线面垂直的性质可得PA⊥AE．再利用线面垂直的判定与性质定理即可得出；
（II）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH．由（Ⅰ）知：AE⊥平面PAD，可得：∠EHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，可知：当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．利用直角三角形边角关系可得PA=2．由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
①利用=可得：异面直线PB与AD所成角．
②设平面AEF的一法向量为=（x，y，z），利用，可得；利用线面垂直的判定
定理可得：为平面AFC的一法向量．利用cos=即可得出．
解答： （Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形． ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC． 又 BC∥AD，因此AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE． 而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD=A， ∴AE⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD． ∴AE⊥PD．
（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH． 由（Ⅰ）知：AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角． 在Rt△EAH中，AE=，
∴当AH最短时，∠EHA最大， 即当AH⊥PD时，∠EHA最大． 此时，tan∠EHA=
=
=
，
因此，AH=．
又AD=2，∴∠ADH=45°， ∴PA=2．
由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 又E、F分别为BC、PC的中点， 可得：A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（C，1，0）， D（0，2，0），P（0，0，2），E（①∴
=
，
，0，0），F
，
=（0，2，0），
=
=
，
设异面直线PB与AD所成角为α，∴sinα=②
=
，
=
． ，
设平面AEF的一法向量为=（x，y，z）， 则
，
∴，
取=（0，2，﹣1），
∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A， ∴BD⊥平面AFC， 故又 ∴cos
为平面AFC的一法向量． =
=
，
=
=
，
∵二面角E﹣AF﹣C为锐角， ∴所求二面角的余弦值为
．
点评： 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、利用法向量夹角求空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（13分）已知函数
．
（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题． 专题： 压轴题；分类讨论．
分析： （Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）（fx）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．对（fx）求导数得f'（x）=
﹣ax
e
．
e
﹣2x
（ⅰ）当a=2时，f'（x）=，f'（x）在（﹣∞，0），（0，1）和（1，+∞）均
大于0，
所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．
（ⅱ）当0＜a＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数． （ⅲ）当a＞2时，0＜
＜1，令f'（x）=0，
解得x1=，x2=
．
当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表： x f′（x） + f（x） f（x）在（﹣∞，
），（
﹣
↑
+ ↓
，1），（1，+∞）为增函数，f（x）在（
（1，+∞） +
↑ ↑
，
）
为减函数． （Ⅱ）（ⅰ）当0＜a≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞f（0）=1． （ⅱ）当a＞2时，取x0=
∈（0，1），则由（Ⅰ）知f（x0）＜f（0）=1
＞1且e
﹣ax
（ⅲ）当a≤0时，对任意x∈（0，1），恒有
≥1，得f（x）=e
﹣ax
≥＞
1．
综上当且仅当a∈（﹣∞，2]时，对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1．
点评： 考查学生利用导数研究函数单调性的能力，理解函数恒成立时所取的条件．
19．（14分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}滿足是等差数列； （Ⅲ）证明：
考点： 等差关系的确定；数列递推式． 专题： 计算题；综合题；压轴题．
*
，证明：数列{bn}
．
分析： （Ⅰ）整理题设递推式得an+1+1=2（an+1），推断出{an+1}是等比数列，进而求得an+1，
则an可求． （Ⅱ）根据题设等式可推断出2[（b1+b2+…+bn）﹣n]=nbn和2[（b1+b2+…+bn+bn+1）﹣（n+1）]=（n+1）bn+1．两式相减后整理求得bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn进而推断出{bn}是等差数列． （Ⅲ）利用（Ⅰ）中数列{an}的通项公式，利用不等式的传递性，推断出
，进而推
断出；同时利用不等式的性质推断出，进而代入
证明原式．
解答： 解：（Ⅰ）∵an+1=2an+1（n∈N），
*
∴an+1+1=2（an+1），
∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．
n
∴an+1=2．
n*
即an=2﹣1∈N）． （Ⅱ）证明：∵∴
．
∴2[（b1+b2+…+bn）﹣n]=nbn，①
2[（b1+b2+…+bn+bn+1）﹣（n+1）]=（n+1）bn+1．② ②﹣①，得2（bn+1﹣1）=（n+1）bn+1﹣nbn，
即（n﹣1）bn+1﹣nbn+2=0，nbn+2﹣（n+1）bn+1+2=0． ③﹣④，得nbn+2﹣2nbn+1+nbn=0， 即bn+2﹣2bn+1+bn=0，
*
∴bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn（n∈N）， ∴{bn}是等差数列． （Ⅲ）证明：∵
，k=1，2，n，
∴．
∵，k=1，2，…，n，
∴，
∴．
点评： 本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解
题能力．
20．（14分）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0）、F2（c，0），|=2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，|≠0．
|=a+x；
Q是椭圆外的动点，满足|并且满足
•
=0，|
（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b．若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．
2
考点： 椭圆的应用． 专题： 综合题；压轴题．
分析： （Ⅰ）证法一：设点P的坐标为（x，y），
由题设条件知||===，
由此能够推导出|
|=a+x．
证法二：设点P的坐标为（x，y）．记|由r1+r2=2a，r1+r2=4cx，能够推导出|
2
2
|=r1，||=r2，
|=r1=a+x．
证法三：设点P的坐标为（x，y）．椭圆的左准线方程为a+x=0，
由椭圆第二定义得=，由此入手推导出||=a+x．
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为（x，y）．当|当|
在△QF1F2中，
|=0时，点（a，0）和点（﹣a，0）在轨迹上．
时，由题设条件知T为线段F2Q的中点．
，由此求出点T的轨迹C的方程．
解法二：在推导出T为线段F2Q的中点的基础上，设点Q的坐标为（x'，y'）， 由中点坐标公式和|
|=2a推导出点T的轨迹C的方程．
（Ⅲ）解法一：C上存在点M（x0，y0）使S=b的充要条件是
2
由③得|y0|≤a，由④得|y0|≤
．再分类讨论进行求解．
解法二：C上存在点M（x0，y0）使S=b的充要条件是
2
由④得|y0|≤．上式代入③得x0=a﹣
22
=（a﹣）（a+）≥0．再分类讨论进行求解．
解答： （Ⅰ）证法一：设点P的坐标为（x，y）． 由P（x，y）在椭圆上，得|
|=
=
=
由x≥a，知a+x≥﹣c+a＞0，所以||=a+x
|=r1，|．
|=r2，
证法二：设点P的坐标为（x， y）．记|则r1=
2
2
，r2=
由r1+r2=2a，r1+r2=4cx，得||=r1=a+x．
证法三：设点P的坐标为（x，y）．椭圆的左准线方程为a+x=0
由椭圆第二定义得=，即||=|x+|=|a+x|．
由x≥﹣a，知a+x≥﹣c+a＞0，所以||=a+x．
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为（x，y）． 当|当|又
在△QF1F2中，
|=0时，点（a，0）和点（﹣a，0）在轨迹上．
时，由
，所以T为线段F2Q的中点．
，所以有x+y=a．
2
2
2
2
2
2
，得．
综上所述，点T的轨迹C的方程是x+y=a． 解法二：设点T的坐标为（x，y）．当|当|又，|
|≠0且|
|
|≠0，时，由
•
|=0时，点（a，0）和点（﹣a，0）在轨迹上．
⊥
．
=0，得
，所以T为线段F2Q的中点．
设点Q的坐标为（x'，y'），则
因此①
2
2
2
由||=2a得（x'+c）+y'=4a．②
2
2
2
将①代入②，可得x+y=a．
222
综上所述，点T的轨迹C的方程是x+y=a．
2
（Ⅲ）解法一：C上存在点M（x0，y0）使S=b的充要条件是
由③得|y0|≤a，由④得|y0|≤当a＜当a≥由S=
••
．所以，当a≥时，存在点M，使S=b；
2
时，不存在满足条件的点M． 时，
2
=（﹣c﹣x0，﹣y0），
2
2
2
2
2
=（c﹣x0，﹣y0）， •
=|
|•|
|=cos∠F1MF2，
=x0﹣c+y0=a﹣c=b，
2
sin∠F1MF2=b，得tan∠F1MF2=2．
2
解法二：C上存在点M（x0，y0）使S=b的充要条件是
由④得|y0|≤．上式代入③得x0=a﹣
2
22
=（a﹣）（a+）≥0
于是，当a≥当a＜
时，存在点M，使S=b；
时，不存在满足条件的点M．
当a≥
时，记k1=kF1M=，k2=kF2M=
，
由|F1F2|＜2a，知∠F1MF2＜90°，所以tan∠F1MF2=|
|=2．
点评： 平时练习时多尝试一题多解，能够开拓我们的解题思路，从而提高解题能力．
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