一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列各数中，绝对值最小的数是（ ） A．π
12
1
B．
2
1
C．﹣2
1
1
D．−
1
3【解答】解：∵||=2，|π|＝π，|﹣2|＝2，|−3|=3， ∴绝对值最小的数是−3． 故选：D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ） A．2a3+3a2＝5a5 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2
B．3a3b2÷a2b＝3ab D．（﹣a）3+a3＝2a3
1
【解答】解：A、2a3和3a2不是同类项，不能合并，故原题计算错误； B、3a3b2÷a2b＝3ab，故原题计算正确； C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故原题计算错误； D、（﹣a）3+a3＝0，故原题计算错误； 故选：B．
3．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，若k为非负整数，则k等于（ ） A．0
B．1
C．0或1
D． 21
△=4−4𝑘≥0【解答】解：由题意可知：{𝑘≠0
𝑘≥0∴0＜k≤1， 由于k是整数， ∴k＝1 故选：B．
4．（3分）不等式组{3𝑥−1＞2的解集在数轴上表示为（ ）
2−𝑥≥0A．
B．
C． D．
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3𝑥−1＞2①
【解答】解：{，
2−𝑥≥0②由①得：x＞1， 由②得：x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2， 表示在数轴上，如图所示：
故选：C．
5．（3分）一个不透明的袋子里装有质地、大小都相同的3个红球和1个绿球；随机从中摸出一个球，不再放回，充分搅匀后再随机摸出一球，则两次都摸到红球的概率是（ ） A．
31
B．
3
2
C． 2
1
D． 4
1
【解答】解：列表得：
（红，绿） （红，红） （红，红）
（ 红，绿）
（红，红） （红，红）
（红，绿） （红，红）
（红，红）
（绿，红） （绿，红） （绿，红）
∴一共有12种情况，两次都摸到红球的6种， ∴两次都摸到红球的概率是0.5， 故选：C．
6．（3分）如图，BE∥AF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A＝35°，则∠ADC的度数（ ）
A．105°
B．115°
C．125°
D．135°
【解答】解：∵BE∥AF，∠A＝35°， ∴∠B＝∠A＝35°， 又∵DC⊥BE，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝35°+90°＝125°，
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故选：C．
7．（3分）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则
𝐸𝐹𝐹𝐶
等于（ ）
A．
31
B．
2
1
C． 3
2
D． 2
3
【解答】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ED∥BC，BC＝AD， ∴△DEF∽△BCF， ∴
𝐸𝐹𝐶𝐹
=
𝐷𝐸𝐶𝐵
，
设ED＝k，则AE＝2k，BC＝3k； ∴
𝐸𝐹𝐶𝐹
=
𝑘3𝑘
=，
3
1
故选：A．
8．（3分）如图，已知AB是⊙O直径，BC是弦，∠ABC＝40°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB为（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【解答】解：如图，OD交BC于E．
∵OD⊥BC， ∴∠OEB＝90°，
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∵∠ABC＝40°， ∴∠BOD＝50°，
∴∠DCB=2∠BOD＝25°， 故选：B．
9．（3分）已知一次函数y＝（k+1）x+b的图象与x轴负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为（ ） A．k＞﹣1，b＞0 【解答】解：由题意{
B．k＞﹣1，b＜0 𝑏＞0，
𝑘+1＞0
C．k＜﹣1，b＞0
D．k＜﹣1，b＜0
1
∴{
𝑏＞0
，
𝑘＞−1
故选：A．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③若点A坐标为（﹣1，0），则线段AB＝5；④若点M（x1，y1），N（x2，y2）在该函数图象上，且满足0＜x1＜1，2＜x2＜3，则y1＜y2，其中正确结论的序号为（ ）
A．①，②
B．②，③
C．③，④
D．②，④
【解答】解：由图象可知：开口向下，故a＜0， 抛物线与y轴交点在x轴上方，故c＞0， ∵对称轴x=−2𝑎＞0， ∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误； ∵对称轴为x＝2， ∴−2𝑎=2，
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𝑏
𝑏
∴b＝﹣4a，
∴4a+b＝0，故②正确；
点A坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝2， ∴对称点B（5，0）， ∴AB＝6，故③正错误；
点M（x1，y1），N（x2，y2）在该函数图象上，且满足0＜x1＜1，2＜x2＜3， ∵对称轴x＝2， ∴点M距离对称轴远， ∴y1＜y2，故④正确 故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）计算：22+（√4−1）0＝
﹣
54 ．
【解答】解：原式=4+1=4， 故答案为：
45
15
12．（3分）方程
𝑥
𝑥−1
−
2𝑥
=1的解是 x＝2 ．
【解答】解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x， 解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解， 故答案为：x＝2
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx+b（k≠0）与y=
𝑚
𝑚
（m≠0）的图象相𝑥交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则关于x的不等式kx+b＞𝑥的解集是 ﹣6＜x＜0或x＞2 ．
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【解答】解：不等式kx+b＞的解集为：﹣6＜x＜0或x＞2， 故答案为：﹣6＜x＜0或x＞2．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，E，H分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BH上的F处，则AD＝ 6√2 ．
𝑚
𝑥
【解答】解：如图，连接EH，
∵点E、点H是AD、DC的中点， ∴AE＝ED，CH＝DH=CD=AB＝3， 由折叠的性质可得AE＝FE， ∴FE＝DE，
在Rt△EFH和Rt△EDH中， 𝐸𝐹=𝐸𝐷{， 𝐸𝐻=𝐸𝐻
∴Rt△EFH≌Rt△EDH（HL）， ∴FH＝DH＝3，
∴BH＝BF+HF＝AB+DH＝6+3＝9， 在Rt△BCH中，BC=√92−32=6√2， ∴AD＝BC=6√2． 故答案为：6√2．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC=√3，以点B为圆心，AB为半径作弧交AC于点E，则图中阴影部分面积是
𝜋6
1
212−
√3 ． 4
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【解答】解：连接BE，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC=√3， ∴AB＝1，∠BAE＝60°， ∵BA＝BE，
∴△ABE是等边三角形， ∴图中阴影部分面积是：故答案为：−
6𝜋
√3． 4
60×𝜋×12
360
−
1×1×𝑠𝑖𝑛60°
2
=
𝜋6
−
√3， 4
三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（8分）化简
𝑥−3𝑥2−4
𝑥2−2𝑥𝑥2−4𝑥+4
3
÷（−
𝑥−2
），并从1，2，3，﹣2四个数中，取一个合适的
数作为x的值代入求值．
(𝑥−2)21𝑥−3𝑥2−2𝑥−3(𝑥−2)𝑥−3【解答】解：原式=÷=•=， 2(𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥+2)(𝑥−2)(𝑥−2)(𝑥−3)𝑥+2(𝑥−2)
当x＝1时，原式=3．
17．（9分）为了解家长对“学生在校带手机”现象的看法，某校“九年级兴趣小组”随机调查了该校学生家长若干名，并对调查结果进行整理，绘制如下不完整的统计图．
1
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次接受调查的家长总人数为 200 人．
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（2）在扇形统计图中，求“很赞同”所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若在这次接受调查的家长中，随机抽出一名家长，恰好抽到“无所谓”的家长概率是多少？
【解答】解：（1）这次接受调查的家长总人数为50÷25%＝200人， 故答案为：200；
（2）∵“无所谓”的人数为200×20%＝40人， ∴“很赞同”的人数为200﹣（50+40+90）＝20人，
则“很赞同”所对应的扇形圆心角的度数为360°×200=36°；
（3）∵在所抽取的200人中，表示“无所谓”的人数为40， ∴恰好抽到“无所谓”的家长概率是
40200
20
=0.2．
18．（9分）如图，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，且四边形BCOE是平行四边形．
（1）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，请说明理由； （2）若⊙O半径为1，求AD的长．
【解答】解：（1）是，理由如下： 如图，连接OB．
∵四边形BCOE为平行四边形， ∴ED∥BC，OE＝BC， ∵OE＝OD， ∴OD＝BC，
∴四边形ODCB是平行四边形， ∵AD为圆O的切线，
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∴OD⊥AD，
∴四边形BCDO为矩形， ∴OB⊥BC，
则BC为圆O的切线．
（2）∵四边形BCDO为矩形，OD＝OB， ∴四边形BCDO是正方形， ∴OD＝DC＝1， ∵C为AD的中点， ∴AD＝2CD＝2．
19．（9分）如图，湛河两岸AB与EF平行，小亮同学假期在湛河边A点处，测得对岸河边C处的视线与湛河岸的夹角∠CAB＝37°，沿河岸前行140米到点B处，测得对岸C处的视线与湛河岸夹角∠CBA＝45°，问湛河的宽度约多少米？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
设CD＝x， ∵∠CBA＝45°， ∴DB＝CD＝x，
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∵AB＝140， ∴AD＝140﹣x，
∵tan∠CAB=𝐴𝐷，且∠CAB＝37°， ∴
𝑥140−𝑥
𝐶𝐷
=0.75，
解得：x＝60， 即CD＝60米，
答：湛河的宽度约60米．
20．（9分）平高集团有限公司准备生产甲、乙两种开关，共8万件，销往东南亚国家和地区，已知2件甲种开关与3件乙种开关销售额相同；3件甲种开关比2件乙种开关的销售额多1500元．
（1）甲种开关与乙种开关的销售单价各为多少元？
（2）若甲、乙两种开关的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种开关多少万件？ 【解答】解：（1）设甲种商品的销售单价为x元/件，乙种商品的销售单价为y元/件， 2𝑥=3𝑦根据题意得：{，
3𝑥−2𝑦=1500𝑥=900
解得：{．
𝑦=600
答：甲种商品的销售单价为900元/件，乙种商品的销售单价为600元/件．
（2）设销售甲种商品a万件，依题意有 900a+600（8﹣a）≥5400， 解得a≥2．
答：至少销售甲种商品2万件．
21．（9分）如图，直线y＝2x与反比例函数y=𝑥（k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，m），点B（n，t）是反比例函数图象上一点，且n＝2t． （1）求k的值和点B坐标；
（2）若点P在x轴上，使得△PAB的面积为2，直接写出点P坐标．
𝑘
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【解答】解：（1）点A（1，m）在直线y＝2x上， ∴m＝2×1＝2，A（1，2）． ∵A（1，2）在反比例函数y=上， ∴k＝1×2＝2， ∴y=．
∵点B（2t，t）是反比例函数y=𝑥图象上， ∴2t2＝2，
解得t＝1，（负值已舍去） ∴B（2，1）；
（2）如图，延长AB交x轴于点C， 设直线AB的解析式为y＝mx+n， 𝑚+𝑛=2则有{，
2𝑚+𝑛=1𝑚=−1解得{，
𝑛=3
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3． ∵点C是直线y＝﹣x+3与x轴的交点， ∴点C的坐标为（3，0），
设点P的坐标为（a，0），则PC＝|3﹣a|， 依据S△PAB＝S△PAC﹣S△PBC可得， 2=
111
×PC×2−×PC×1，即2=|3﹣a|， 2222
2𝑥𝑘𝑥解得a＝﹣1或7，
∴点P的坐标为（﹣1，0）或（7，0）．
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22．（11分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）发现
当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是 DG＝BE ； ②直线DG与直线BE之间的位置关系是 DG⊥BE ． （2）探究
如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE， 证明：直线DG⊥BE． （3）应用
在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB=√5，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论）
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG，
𝐴𝐵=𝐴𝐷
在△ABE和△DAG中，{∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐺，
𝐴𝐸=𝐴𝐺∴△ABE≌△DAG（SAS）， ∴BE＝DG；
②如图2，延长BE交AD于G，交DG于H， 由①知，△ABE≌△DAG， ∴∠ABE＝∠ADG， ∵∠AQB+∠ABE＝90°，
第12页（共16页）
∴∠AQB+∠ADG＝90°， ∵∠AQB＝∠DQH， ∴∠DQH+∠ADG＝90°， ∴∠DHB＝90°， ∴BE⊥DG，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；
（2）∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形， ∴∠BAD＝∠DAG， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵AD＝2AB，AG＝2AE， ∴
𝐴𝐵𝐴𝐷
=
𝐴𝐸𝐴𝐺
=，
2
1
∴△ABE∽△ADG， ∴∠ABE＝∠ADG， ∵∠AGB+∠ABE＝90°， ∴∠AGB+∠ADG＝90°， ∵∠AGB＝∠DGH， ∴∠DGH+∠ADG＝90°， ∴∠DHB＝90°， ∴BE⊥DG；
（3）如图3，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形） EG与AD的交点记作M， ∵EG∥AB，
∴∠DME＝∠DAB＝90°， 在Rt△AEG中，AE＝1， ∴AG＝2AE＝2，
根据勾股定理得，EG=√5， ∵AB=√5，
第13页（共16页）
∴EG＝AB， ∵EG∥AB，
∴四边形ABEG是平行四边形， ∴AG∥BE， ∵AG∥EF，
∴点B，E，F在同一条直线上如图4， ∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE=√𝐴𝐵2−𝐴𝐸2=2， 由（2）知，△ABE∽△ADG， ∴∴
𝐵𝐸𝐷𝐺2𝐷𝐺
=
𝐴𝐵𝐴𝐷12
=，
2
1
=，
∴DG＝4． 图3
23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的图象过原点O和点A（1，√3），且与x轴
第14页（共16页）
交于点B，△AOB的面积为√3． （1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴存在一点M，使△AOM的周长最小，求M的点的坐标； （3）点F是x轴上一动点，过F作x轴的垂线，交直线AB于点E，交抛物线于点P，且PE=3，直接写出点E的坐标（写出符合条件的两个点即可）
2√3
【解答】解：（1）∵△AOB的面积为√3， ∴•√3•OB=√3，解得OB＝2，
21
∴B（﹣2，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x+2），
把A（1，√3）代入y＝ax（x+2）得a•1•3=√3，解得a=3， ∴抛物线解析式为y=即y=
√32
√3√33x（x+2），
3x+
2√3x； 3（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 连接AB交直线x＝﹣1于点M，如图1， ∵MB＝BO，
∴MO+MA＝MB+MA＝AB，
∴此时MO+MA的值最小，△MAO的周长最小， 设直线AB的解析式为y＝kx+m，
𝑘=3−2𝑘+𝑚=0
把B（﹣2，0），A（1，√3）代入得{，解得{，
𝑘+𝑚=√32√3𝑚=
3√3∴直线AB的解析式为y=3x+3， 当x＝﹣1时，y=3x+3=3，
第15页（共16页）
√3√32√32√3√3
此时M点的坐标为（﹣1，（3）如图2，设E（x，∴PE＝|
√3）； 3
√32√3√32√3x+3），则P（x，x2+3x）， 33
√322√3√32√3√32√32√3x+x﹣（x+|＝|x+x−|，
33333332√3而PE=3， ∴|
√32√32√32√3x+3x−3|=3， 3
−1+√17√32√32√32√3−1+√17−1−√17x+3x−3=3得x1=，x=，此时E点坐标为（，2
2232
解方程
3√3+√51−1−√173√3−√51）或（，）， 623
解方程
√3）， 3
2√3√32√32√32√3x+x−=−得x1＝0，x2＝﹣1，此时E点坐标为（0，）或（﹣1，
33333
综上所述，E点坐标为（或（﹣1，
√3）． 3
−1+√172
，
3√3+√51−1−√173√3−√512√3）或（，）或（0，）6233
第16页（共16页）
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