实验五-IIR数字滤波器设计与滤波(附思考题程序)

实验五 IIR数字滤波器设计与滤波

1.实验目的

（1）加深对信号采样的理解， （2）掌握滤波器设计的方法； （3）复习低通滤波器的设计。

2．实验原理

目前，设计IIR数字滤波器的通用方法是先设计相应的低通滤波器，然后再通过双线性变换法和频率变换得到所需要的数字滤波器。模拟滤波器从功能上分有低通、高通、带通及带阻四种，从类型上分有巴特沃兹（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）I型滤波器、切比雪夫II型滤波器、椭圆（Elliptic）滤波器以及贝塞尔（Bessel）滤波器等。 典型的模拟低通滤波器的指标如下：P,S分别为通带频率和阻带频率，P,S分别为通带和阻带容限（峰波纹值）。在通带内要求1PHa(J)1,有时指标由通带最大衰减p和阻带最小衰减s给出，定义如下：p20lg(1p) 和s20lg(s)

第二种常用指标是用参数和A表示通带和阻带要求，如图所示：

二者之间的关系为：[(1p)1]21/2和s1/A，根据这几个参数可导出另外两

个参数d，k，分别称为判别因子和选择性因子。

d

A12 kp/s

BUTTERWORTH低通滤波器：幅度平方函数定义为Ha(J)21，N为滤

1(/c)2N波器阶数，c为截止频率。当c时，有Ha(J)1/2，为3DB带宽。

BUTTERWORTH低通滤波器系统函数有以下形式：

Ha(s)cN(ssk)k1N1

sNa1sN1...aN1saN由模拟滤波器设计IIR数字滤波器，必须建立好s平面和z平面的映射关系。使模拟系统函数Ha(s)变换成数字滤波器的系统函数H(z)，通常采用冲激相应不变法和双线性变换法。冲激相应不变法存在频谱混叠现象，双线性变换法消除了这一线象，在IIR数字滤波器的设计中得到了更广泛的应用。

21Z1jws平面和Z平面的映射关系为sf(Z),将和待入数字频率zesj1Ts1Z和等效的模拟频率之间的映射关系：tan()，由于二者不是线性关系，所以称为预畸变。

w23.实验内容及其步骤

实验的步骤：

（1）给定数字滤波器的幅度相应参数。

（2）用预畸变公式将数字滤波器参数变换为相应的等效模拟滤波器参数。 （3）采用模拟滤波器设计方法设计等效模拟滤波器Ha(s)

（4）采用双线性变换公式把等效模拟滤波器映射为所期望的数字滤波器。 其中第三步中模拟滤波器设计步骤为：

首先，根据滤波器指标求选择因子k和判别因子d 其次，确定满足技术所需的滤波器阶数N, Nlogd logk再次，设3db截止频率c

最后由表查出归一化巴特沃斯滤波器系数。 设计举例：

例1 设计一个模拟巴特沃特低通滤波器，它在30rad/s处具有1dB或更好的波动，在50rad/s处具有至少30dB的衰减。求出级联形式的系统函数，画出滤波器的幅度响应、对数幅度响应、相位响应和脉冲响应图。

MATLAB参考程序：

Wp=30;Ws=50;Rp=1;As=30; %技术指标 Ripple=10^(-Rp/20); Attn=10^(-As/20);

[b,a]=afd_butt(Wp,Ws,Rp,As) %巴特沃兹低通滤波器子程序 [db,mag,pha,w]=freqs_m(b,a,50); %计算幅频响应

[ha,x,t]=impulse(b,a); %计算模拟滤波器的单位脉冲响应 figure(1);clf;

subplot(2,2,1);plot(w,mag);title('Magnitude Response');

xlabel('Analog frequency in rad/s'); ylabel('H'); axis([0,50,0,1.1]);grid;

subplot(2,2,2);plot(w,db);title('Magnitude in dB'); xlabel('Analog frequency in rad/s'); ylabel('decibels'); axis([0,50,-40,5]) grid

subplot(2,2,3);plot(w,pha/pi);title('Phase Response'); xlabel('Analog frequency in rad/s'); ylabel('radians'); axis([0,50,-1.1,1.1]) grid

subplot(2,2,4);plot(t,ha);title('Impulse Response'); xlabel('time in seconds'); ylabel('ha(t)');

axis([0,max(t)+0.05,min(ha),max(ha)+0.025]); grid

%巴特沃兹模拟滤波器的设计子程序

function[b,a]=afd_butt(Wp,Ws,Rp,As); if Wp<=0

error('Passband edge must be larger than 0') end if Ws<=Wp

error('Stopband edge must be larger than Passed edge') end

if (Rp<=0)|(As<0)

error('PB ripple and /0r SB attenuation must be larger than 0') end

N=ceil((log10((10^(Rp/10)-1)/(10^(As/10)-1)))/(2*log10(Wp/Ws))); OmegaC=Wp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N))); [b,a]=u_buttap(N,OmegaC);

%设计非归一化巴特沃兹模拟低通滤波器原型子程序

function [b,a]=u_buttap(N,OmegaC);

[z,p,k]=buttap(N); z、p和k分别是设计出的G(p)的极点、零点及增益。 p=p*OmegaC; %非归一化 k=k*OmegaC^N; B=real(poly(z)); b0=k;

b=k*B; 分子向量 a=real(poly(p));分母向量

%计算系统函数的幅度响应和相位响应子程序

function [db,mag,pha,w]=freqs_m(b,a,wmax); w=[0:1:500]*wmax/500; H=freqs(b,a,w);

mag=abs(H);

db=20*log10((mag+eps)/max(mag)); pha=angle(H);

例2设计如下指标的数字低通滤波器。

相应的MATLAB程序如下： fp=100;fst=300;Fs=1000; rp=3;rs=20; wp=2*pi*fp/Fs; ws=2*pi*fst/Fs;

Fs=Fs/Fs; % let Fs=1

wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2); 预畸变公式

[n,wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s') ；设计等效模拟滤波器 [z,p,k]=buttap(n);

[bp,ap]=zp2tf(z,p,k) 设计模拟低通原型滤波器

[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap) ； 将模拟低通原型滤波器转换为低通滤波器

[bz,az]=bilinear(bs,as,Fs/2) 实现双线性变换，即由模拟滤波器Hs得到数字滤波器 [h,w]=freqz(bz,az,256,Fs*1000); plot(w,abs(h));grid on;

调试运行该程序，运行结果如下：

bp=[1,0,0],ap=[1,1.4142,1],bs=[0.1056,0,0],as=[1,0.4595,0.1056] bz=[0.0675,0.1349,0.06745],az=[1,-1.143,0.4128]

4.实验用MATLAB函数介绍

在实验过程中，MATLAB函数命令有数字滤波器函数[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)、模拟滤波器函数[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘s’)。式中Wp,Ws分别上通带和阻带的截止频率，实际上它们是归一化频率，其值在0~1之间，Rp,Rs分别是通带和阻带的衰减，单位为dB。N是求出的相应低通滤波器的阶次，Wn是求出的3dB频率，第二个式子的单位为rad/s，因此，它们实际上是频率。

用来设计模拟低通原型滤波器G(p)，其调用格式是[z,p,k]=buttap(N) N是欲设计的低通原型滤波器的阶次，z、p和k分别是设计出的G(p)的极点、零点及增益。

以下4个文件用来将模拟低通原型滤波器G(p)分别转换为低通、高通、带通、及带阻滤波器。其调用格式分别是

（1）[B,A]=lp2lp(b,a,Wo) 或 [B,A]=lp2hp(b,a,Wo) （2）[B,A]=lp2bp(b,a,Wo,Bw) 或 [B,A]=lp2bs(b,a,Wo,Bw)

式中b，a分别是模拟低通原型滤波器G(p)有分子、分母多项式的系数向量，B，A分别是转换后的Hs有分子、分母多项式的系数向量；在格式（1）中，Wo是低通或高通滤波器的截止频率；在格式（2）中Wo是带通或带阻滤波器的中心频率，Bw是其带宽。

实现双线性变换，即由模拟滤波器Hs得到数字滤波器Hz。其调用格式是

[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs)

式中B、A分别是Hs的分子、分母多项式的系数向量；Bz、Az分别是Hz的分子、分母多项式的系数向量，Fs是抽样频率。

5.思考题

（1）IIR滤波器设计步骤。

（2）对实验过程中所涉及的问题进行分析，试编写和修改相应的程序，得出最终正确的结果和波形图，并对实验报告进行整理分析。

（3）设计低通数字滤波器，要求在通带内频带低于0.2rad时，允许幅度误差在1dB以内，在频率0.3rad~rad之间的阻带衰减大于15dB。用双线性设计数字滤波器，T1，模拟滤波器采用巴特沃兹滤波器原型。 >> rp=1;rs=15;

>> wp=0.2*pi;ws=0.3*pi; >> Fs=1;

>> wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2); >> [n,wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s'); >> [z,p,k]=buttap(n); >> [bp,ap]=zp2tf(z,p,k); >> [bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap); >> [bz,az]=bilinear(bs,as,Fs/2); >> [h,w]=freqz(bz,az,256); >> plot(w,abs(h));grid on;

（4）设计一个巴特沃兹高通滤波器，要求通带截止频率为0.6，通带内衰减不大于1dB，阻带起始频率为0.4，阻带内衰减不小于15dB，T1。（选做） >> rp=1;rs=15;

>> wp=0.6*pi;ws=0.4*pi; >> Fs=1;

>> wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2); >> [n,wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s'); >> [z,p,k]=buttap(n); >> [bp,ap]=zp2tf(z,p,k); >> [bs,as]=lp2hp(bp,ap,wap); >> [bz,az]=bilinear(bs,as,Fs/2); >> [h,w]=freqz(bz,az,256); >> plot(w,abs(h));grid on;

6.实验报告要求

（1）明确实验目的以及实验的原理。 （2）通过实验内容掌握滤波器的设计。

（3）完成思考题的内容，对实验结果及其波形图进行分析，总结主要结论。